Pendule spiral diapason/Tome 2/Échappements d’Horloges

Henri Bouasse

Pendule spiral diapason

Librairie Delagrave, 1920 (II, p. 1-43).

PENDULE, SPIRAL, DIAPASON

MESURE DES FORCES ET CHRONOMÉTRIE

APPLICATION À L’HORLOGERIE

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CHAPITRE I

ÉCHAPPEMENTS D’HORLOGES

Mes lecteurs habituels savent avec quel soin sont tracées les figures de mes Cours. Je crois cependant devoir les prévenir qu’ils ne comprendront bien les phénomènes qu’en voyant fonctionner des modèles construits à une échelle 10 à 20 fois plus grandes que les pièces usuelles. Un laboratoire de Mécanique raisonnablement installé doit contenir, en état de fonctionner, tous les mécanismes décrits dans ce Cours : aux étudiants d’exiger qu’on les mette entre leurs mains convenablement grossis. Cela vaudra mieux pour leur éducation d’ingénieur qu’une machine de deux cents chevaux ou l’installation d’une turbine gigantesque. Puisqu’on trouve de l’argent pour ces inutilités, on en trouvera pour les modèles infiniment moins coûteux que je déclare indispensables.

1. Position du problème.

1^o — Dans tout appareil d’horlogerie (exception faite pour les systèmes utilisant le pendule conique) on trouve un motéur (poids ou ressort), un rouage, un échappement et un régulateur oscillant. L’échappement joue le double rôle de laisser tourner le rouage d’un certain angle à chaque demi-oscillatipn (battement) du régulateur, et de fournir au régulateur l’énergie nécessaire à l’entretien de son mouvement, malgré les frottements inévitables.

De cette définition même résulte que le mouvement des horloges et chronomètres est saccadé (non pas continu). C’est un phénomène mécanique bien curieux qu’on n’ait jamais obtenu par un mouvement continu (pendule conique) la précision que fournit le mouvement saccadé.

Le cas le plus simple est qu’à chaque demi-oscillation du régulateur, le rouage avance d’une certaine quantité, puis s’arrête. L’échappement est dit à repos.

Un cas plus complexe est fourni par les échappements à recul : le rouage avance d’une certaine quantité, puis recule d’une quantité moindre.

Enfin, dans certains cas le rouage recule d’une petite quantité (dégagement), avance (impulsion), puis s’arrête (repos). Ces trois temps constituent la période du phénomène dont la longueur est égale à la demi-période du mouvement du régulateur (battement).

2^o — Les échappements se comptent par centaines^[1] ; on en invente tous les jours de nouveaux. Il est clair qu’ils ne diffèrent que par des détails insignifiants de ceux que l’on connaît depuis longtemps. Pour amuser le lecteur j’en décrirai trois douzaines ; mais il n’oubliera pas qu’aujourd’hui ceux qui servent dans l’industrie courante, se réduisent à trois ou quatre.

Pour les horloges on utilise l’échappement de Graham, à repos si le pendule est long et l’ampjitude petite (horloges de précision) ; à recul si le pendule est court et l’amplitude grande (pendules d’appartement). On utilise aussi l’échappement à cheville. Pour les pendules de haute précision, on emploie l’échappement à force constante.

Pour les montres et chronomètres, après avoir beaucoup vanté l’échappement à cylindre et l’échappement à détente et à coup perdu, on finit par ne plus employer que l’échappement libre à ancre.

La lecture de la Revue Chronométrique (si intéressante jusqu’en 1900, si pauvre depuis) est à ce propos d’une cruelle ironie.

C’est merveille de voir, suivant les dates, déclarer tel ou tel échappement évidemment supérieur à tous les autres, alors que précisément on s’apprête à l’enterrer. Le fait prouve que la valeur a priori d’un mécanisme est toujours subordonnée à des circonstances accessoires que seule la pratique décèle. Le raisonnement n’est pas faux ; il est incomplet. Une théorie incomplète prouve clair comme le jour que l’échappement à détente est supérieur à l’échappement libre à ancre. Elle oublie seulement que le premier est susceptible d’arrêts et de sauts : à cela près elle est irréfutable.

Une théorie incomplète prouve que le tourbillon (§ 72) est une invention géniale. Malheureusement c’est une telle complication qu’il est absolument oublié : on annonçait il y a quelques années la mort du dernier horloger capable de le fabriquer.

Les échappements aujourd’hui les seuls utilisés industriellement, sont connus, le premier depuis deux cents ans, le dernier depuis cent ans. Ainsi depuis cent ans on n’a rien découvert comme échappement qui puisse rivaliser avec ce qu’on avait : il est donc peu probable qu’une invention nouvelle révolutionne la question.

J’insiste là-dessus parce qu’on est tenté de croire que tout date d’hier matin. En fait, le xix^e siècle a perfectionné la fabrication horlogère sans apporter une idée nouvelle. Berthoud serait peut-être étonné du bon marché de nos montres et chronomètres, mais il ne serait étonné que de cela. Aussi bien son Traité d’Horlogerie est rudement plus intéressant que ce qu’inlassablement on nous traduit du Boche.

Pour fixer les idées du lecteur sur la nature de l’invention d’Huyghens, je commence par quelques mots d’historique : comme on va le voir, ce n’est pas un hors-d’œuvre.

2. Anciennes horloges. Clepsydres. Sabliers.

1^o — Les anciennes horloges étaient les clepsydres.

Fig. 1.

Le temps est mesuré par la masse d’un liquide qui s’écoule d’un vase (fig. 1, à gauche).

Pour montrer à quel point ce procédé manque de rigueur, rappelons que l’écoulement en paroi mince se fait suivant la loi de la chute des corps. La vitesse $u$ au niveau de la partie contractée de la veine est donnée par la formule :

$u={\sqrt {2gh}},\qquad -{\frac {dh}{dt}}=ku\,;\qquad {\frac {{\sqrt {h_{0}}}-{\sqrt {h}}}{\sqrt {h_{0}}}}={\frac {t}{t_{0}}}.$

Par exemple, pour diviser en heures un vase cylindrique qui se vide complètement en $t_{0}=4$ heures, il faut tracer 4² = 16 traits équidistants. La formule devient :

$4-{\sqrt {h}}=t.$

La première heure écoulée correspond au passage du liquide du trait 16 au trait 9, et ainsi de suite.

2^o — Ce procédé qui, chose extraordinaire, eut des partisans jusqu’au début du xviii^e siècle (Daniel Bernoulli fut couronné en 1725 pour un mémoire sur les clepsydres), n’est pas le plus simple.

Celui-ci consiste à faire écouler le liquide d’un vase V dont le niveau est maintenu constant par un déversoir horizontal T, dans un vase cylindrique v. Le niveau du liquide s’y élève proportionnellement au temps. L’expérience montre que l’exactitude obtenue est grande.

Dans le vase v peut être un flotteur F lié à un rouage R par une corde ou par une crémaillère.

On conçoit que ce rouage entraîne des aiguilles sur un cadran.

La fameuse horloge dont le calife Haroun-er-Reschid fit présent à Charlemagne en 807, était de ce modèle.

3^o — Avec grande raison les anciens astronomes n’avaient pas confiance dans les clepsydres. Ils rapportaient directement leurs observations au Soleil ou aux étoiles ; autrement dit, ils déterminaient la hauteur du Soleil au moment du phénomène qu’ils voulaient repérer dans le temps. C’est ainsi qu’ils rapportent les débuts ou la fin des éclipses.

Les clepsydres se sont perpétuées sous forme de sabliers qui servent encore à cuire les œufs à la coque, à développer des plaques photographiques, bref à déterminer un temps fixé une fois pour toutes.

Sur les navires, quand on usait du loch à bateau, on utilisait un sablier de 30 secondes. Le service était réglé à bord par un sablier de 4 heures (d’où l’expression faire le quart). Enfin pour les usages communs, on se servait d’un sablier d’une heure. Tout cela a disparu depuis que les montres sont d’un prix abordable aux bourses les moins garnies.

Rappelons l’emploi de petites bougies (fragments de queue de rat) pour régler le temps de certaines enchères publiques.

Je conseille aux alpinistes le réveille-matin formé d’une épingle enfoncée dans une bougie et qui par une ficelle soutient un quart en métal. La bougie brûle, atteint l’épingle ; le quart tombe. Il vous réveille à l’heure voulue si vous connaissez le nombre de centimètres que la bougie brûle par heure. Avant la Guerre, vous déterminiez la place de l’épingle avec un sou (diamètre 2,5 cm.) ou un décime (diamètre 3 cm.).

3. Échappement à roue de rencontre (à recul).

1^o — Sa découverte remonte au début du xiv^e siècle. Il fut employé dans les horloges et les montres de poche jusqu’aux travaux d’Huyghens qui datent de 1657. Le lecteur sera content que j’insiste dessus. Par exemple on lui raconte que Louis XI (mort en 1483) avait une montre de poche qui sonnait ; mais il cherche en vain, dans les ouvrages à sa disposition, la description du mécanisme qui la faisait fonctionner.

C’est toujours la même rengaine : des renseignements de perroquets.

L’échappement a pour pièces essentielles la roue de rencontre R et un

Fig. 2.

axe OO portant deux palettes P, P’, montées sur l’axe ordinairement à 90° l’une de l’autre. Dans la figure 2 la palette P est inclinée sur le tableau vers l’arrière ; la palette P’ est inclinée vers l’avant.

Pour que le dessin soit lisible, je n’ai représenté que la partie antérieure de la roue R.

Il est toujours entendu que les dents n’agissent que par leur pointe.

La forme des dents est donc quelconque, à la condition qu’elles ne soient pas trop faibles vers la pointe et que cependant elles soient assez évidées pour ne toucher les palettes que par la pointe.

Je fais la théorie en supposant impair le nombre des dents (je prends 11 dents ; il y en avait ordinairement 29 ou 31). Dans ce cas, l’axe des palettes passe par l’axe de la roue. Ce nombre impair a de grands inconvénients. Si l'on veut que la roue de rencontre fasse un tour par minute avec 29 ou 31 dents ; la pièce oscillante doit avoir une période un peu différente de 2 secondes ; le battement diffère un peu de la seconde. Il est possible de donner à la roue un nombre pair de dents (30 en particulier) ; mais il faut alors déplacer l’axe des palettes, d’avant en arrière, du quart de l’intervalle des pointes de deux dents contiguës.

L’axe de la roue R tend à tourner sous l’action de la force motrice, poids ou ressort, dans le sens indiqué par la flèche.

L’axe OO porte une barre transversale (ici horizontale) sur laquelle se déplacent les masses MM servant à modifier le moment d’inertie et régler la durée de la période.

Fig. 3.

Je suppose qu’il s’agit d’une horloge ; dans le cas d’une montre les masses sont solidaires de la barre.

2^o — La figure 3 représente l’appareil vu par-dessus. Nous ferons la théorie sur la figure 4 où la roue est remplacée par deux lames dentées parallèles, entraînées avec la même vitesse dans le sens de la flèche par une force constante.

Les palettes P et P’ sont alors les côtés d’un secteur lié à l’axe.

La figure 4 montre l’oscillateur MM quand, tournant dans le sens de la flèche, la palette P’ vient de quitter la pointe de la dent B’ (vient d’échapper). Un peu après la palette P rencontre la pointe de la dent B.

En raison de l’inertie des masses M et de la vitesse acquise, la roue de rencontre recule : d’où le nom de l’échappement. L’oscillateur MM perd sa vitesse, puis revient en arrière, poussé par la dent B qui avance et agit sur la palette P.

Simultanément l’autre lame L’avance vers la droite, de manière que, quand la palette P échappe à la dent B, la palette P’ rencontre la dent C’, après une légère chute. D’où recul de la roue de rencontre. Et ainsi de suite.

En définitive l’oscillateur qui par lui-même n’est soumis à aucune force capable de le faire osciller, est successivement renvoyé par les lames L et L’, comme une balle entre deux raquettes.

3^o — La vitesse angulaire moyenne de la roue de rencontre (vitesse qui règle la marche des aiguilles, vitesse linéaire moyenne des lames L et L’ qui nous servent à expliquer le phénomène) est liée à la période du mouvement oscillatoire par la condition que dans chaque période passe une dent de la roue.

Fig. 4.

Il est difficile de déterminer a priori comment la période dépend du poids moteur et de l’inertie du système oscillant.

Le raisonnement simpliste qui suit en donne une idée.

Si le couple $\mathrm {C}$ était constant, entre l’azimut $\theta$ parcouru, le couple $\mathrm {C}$ et le moment d’inertie $\mathrm {I} ,$ on aurait la relation évidente :

$\theta ={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {\mathrm {C} } }{\mathrm {I} }}t^{2},\qquad t={\sqrt {\frac {2\mathrm {I} \theta }{\mathrm {C} }}}.$

Si le parcours $\theta$ reste à peu près le même, la période varie comme la racine carrée du moment d’inertie et comme la racine carrée de l’inverse du couple. En réalité, l’amplitude $\theta$ augmente à mesure que le couple moteur augmente.

Ce problème se présente sous une forme bizarre dans le Traité d’horlogerie de Moinet :

« Si un balancier tire 20 minutes par heure, avec une force motrice déterminée, combien faudra-t-il ôter de son poids pour lui faire tirer 26 minutes. » Le mot tirer est ici pris dans le sens de faire.

Pour que le problème ait un sens, il faut supposer que le balancier conserve ses dimensions ; plus précisément, que le moment d’inertie est proportionnel au poids. La règle à suivre par les horlogers est donc que la période est proportionnelle à la racine carrée du moment d’inertie (ou du poids dans l’hypothèse énoncée) ; ce qui revient au même, le poids est proportionnel au carré de la période.

Mais le tirage est en raison inverse de la période. D’où la règle : le produit du carré du tirage par le poids est une constante.

Par exemple, si le balancier (de montre) pèse d’abord 0,200 gr., il doit peser dans le second cas :

$200\ \times \ ({\overline {20}}^{2}\ :\ {\overline {26}}^{2})\ =\ 118\ {\text{milligrammes}}.$

La règle des horlogers est celle même que donne notre hypothèse.

4^o — Définissons quelques termes qui vont revenir constamment.

Faisons tourner la verge à la main. Déterminons l’angle minimum qu’il faut parcourir, dans un sens puis en sens contraire, pour que l’échappement fonctionne : c’est l’angle de levée.

Quelques auteurs appellent l’angle ci-dessus défini levée apparente, conservant le nom de levée réelle à l’arc suivant lequel l’oscillateur reçoit l’impulsion. Dans le cas de l’échappement à roue de rencontre, les deux définitions coïncident ; ce n’est plus vrai dans les échappements à repos (§ 7). Nous prendrons toujours le terme angle de levée ou levée dans le premier sens ; nous remplacerons le terme levée réelle par arc ou angle d’impulsion, ce qui supprime toute ambiguïté.

Mesurons l’angle dont tourne la verge dans le même sens après que l’échappement s’est produit, jusqu’à l’élongation maxima : c’est l’arc supplémentaire.

À partir de l’élongation maxima, revenons en arrière. Nous décrirons l’angle $s,$ puis l’angle de levée, enfin l’arc supplémentaire de l’autre côté. L’angle total parcouru (arc total), qui est le double de l’amplitude $\mathrm {A} ,$ est donné par la formule :

${\text{arc total}}\ =\ 2\mathrm {A} \ =\ l+2s.$

Jusqu’ici nous ne considérons que la verge et ses palettes.

Regardons maintenant le rouage.

Pendant la levée, il avance d’un angle à peu près proportionnel à cette levée ; je le représenterai par $\mathrm {L} .$ Au moment de l’échappement, il tourne brusquement d’un angle qui est la chute $\mathrm {C} .$ Il avance donc en tout de $\mathrm {L+C.}$ Il devient alors solidaire des palettes.

Quand la verge décrit l’arc supplémentaire s dans un sens, puis dans l’autre, le rouage recule d’abord de $\mathrm {S} ,$ puis avance de $\mathrm {S}$ : le recul est compensé par une avance égale.

En définitive par demi-oscillation de la verge, le rouage avance de $\mathrm {L+C.}$

La chute représente non seulement du travail perdurais du travail perdu d’une manière nuisible : en effet, le rouage prend pendant la chute une vitesse qu’il faudra que le système oscillant annule. Mais la chute, toute nuisible quelle soit, est nécessaire pour le réglage, vu la non-identité des dents et le jeu des pivots.

4. Loi des couples.

1^o — Pour la régularité des phénomènes, il ne faut pas que le choc des palettes sur la pointe des dents soit brutal ; autrement dit, il est avantageux que le recul de l’oscillateur soit considérable. Montrons qu’il est possible de réaliser cette condition, en vertu de cette proposition que, pour un couple constant s’exerçant sur la roue de rencontre

Fig. 5.

le couple C transmis à la palette est proportionnel au carré de la distance OD de la pointe à l’axe de la palette (fig. 5).

Cela résulte immédiatement du principe des vitesses virtuelles.

Une force F constante par hypothèse agit sur la palette OP suivant une directrice invariable. Écrivons l’égalité des travaux correspondants pour la force $\mathrm {F}$ et pour le couple antagoniste $\mathrm {C} ,\,:$

$\mathrm {C} d\varphi =\mathrm {F} dx.$

On a :

$x={\overline {\mathrm {OA} }}.\operatorname {tg} \varphi ,\qquad {\overline {\mathrm {OD} }}.\cos \varphi ={\overline {\mathrm {OA} }},\qquad dx={\overline {\mathrm {OA} }}.d\varphi :\cos ^{2}\varphi .$

D’où :

$\mathrm {C} =\mathrm {F} .{\frac {\overline {\mathrm {OA} }}{\cos ^{2}\varphi }},\qquad \mathrm {C} .{\overline {\mathrm {OA} }}=\mathrm {F} .{\overline {\mathrm {OD} }}^{2}.$

Lorsque dans le mouvement direct la pointe de la dent glisse sur la palette, le couple augmente donc comme le représentent les courbes MN ou QR (fig. 6). Corrélativement lorsque la palette P’ abandonne la pointe B’, après une petite chute ${\overline {\mathrm {U} u}}$ pendant laquelle le couple est nul, le couple statique (qui de moteur devient résistant) diminue brusquement de UN à uP. Avant que l’oscillateur parvienne au repos, il doit donc effectuer un arc notable uW (recul). La liberté de l’oscillateur est augmentée de ce chef, ainsi que son action régulatrice.

Il faut donc s’arranger de manière qu’à l’instant où la palette P rencontre la dent B, elle soit quasi normale à la trajectoire de la dent B (distance OD minima).

En définitive la courbe figurative des couples est

MNUuPQ — QRTtSM.

À la vérité au moment du choc, indépendamment de la force $\mathrm {F}$

Fig. 6.

qu’exerce la dent et en raison seulement de l’inertie, il faut exercer contre la roue une force instantanée supplémentaire qui intervertisse le sens de son mouvement. La courbe est donc relevée suivant les arcs P’Q, S’M, qui remplacent PQ, SM. Mais l’avantage de la loi des couples ci-dessus établie n’en subsiste pas moins.

Quand on passe d’un bout à l’autre du parcours, la vitesse de l’oscillateur part de zéro pour revenir à zéro. Le travail de tous les couples appliqués à l’oscillateur est donc nul. Conséquemment, en raison de l’existence des frottements qui produisent un travail négatif, le travail des couples dus à l’action de la roue de rencontre doit être positif.

La figure 6 est conforme à cette nécessité théorique.

En horlogerie l’arc TU s’appelle arc de levée de l’échappement ; c’est l’arc nécessaire pour que l’échappement se produise. Il dépend de la construction ; il ne dépend ni du poids moteur ni de l’inertie du balancier (oscillateur). L’arc ${\overline {\mathrm {VW} }}$ s’appelle arc total ou arc de vibration ; pour les physiciens, c’est le double de l’amplitude.

2^o — Revenons sur la loi des couples (fig. 5)

Posons

${\overline {\mathrm {OA} }}=a,\qquad {\overline {\mathrm {OD} }}=l\ ;$

$l$ est la longueur de la palette.

L’échappement a lieu pour un angle $\varphi _{0}$ tel qu’on ait :

$a=\ l\cos \varphi _{0}.$

Soit l’angle des palettes, voisin de $90^{\circ }$. Quand l’une des palettes fait l’angle $\varphi _{0}$ avec la position moyenne $\mathrm {OA} ,$ l’autre fait l’angle $\omega -\varphi _{0}.$

Mais étant de même longueur, elle échappera pour le même angle $\varphi _{0}.$

D’où résulte que l’angle $\lambda$ de levée d’échappement est :

$\lambda =\varphi _{0}-(\omega -\varphi _{0})=2\varphi _{0}-\omega .$

Introduisons l’angle $\theta$ que fait l’oscillateur avec sa position moyenne. Par définition même, quand $\theta =0,$ les palettes sont disposée, symétriquement par rapport au Plan normal à la roue, passant par l’axe géométrique de l’axe matériel auquel elles sont fixées. On a donc alors :

$\varphi ={\frac {\omega }{2}}\,;\qquad$ d’où : $\qquad \theta =\varphi -{\frac {\omega }{2}},\qquad \varphi =\theta +{\frac {\omega }{2}}.$

L’expression du couple est en définitive :

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}\ :\ \cos ^{2}\left(\theta +{\frac {\omega }{2}}\right).$

$\omega$ est voisin de $90^{\circ }$.

L’amplitude de la variation de $\theta$ étant très inférieure à $\pm 45^{\circ },$ l’angle sous le signe cosinus reste toujours assez loin de $0^{\circ }$ et de $90^{\circ }.$

Je n’insiste pas pour l’instant sur la théorie de l’échappement à palettes parce que l’adjonction du pendule comme système réglant, a permis de diminuer énormément l’amplitude. Les considérations précédentes (complétées) reprendront tout leur intérêt dans l’application au réglage des montres (§ 260), de la roue de rencontre associée au spiral.

L’échappement à roue de rencontre marche sans huile avec une roue en laiton et des palettes d’acier. Sa durée est quasiment indéfinie.

Il fonctionne d’autant mieux que le balancier est plus lourd, ce qui diminue l’importance relative de l’inertie de la roue au moment du choc.

Pour un intervalle donné entre les dents de la roue, ilest bon de faire aussi petite que possible la longueur $l$ des palettes, ce qui exagère la variation de l’angle $\varphi ,$ diminue l’importance relative du couple résistant momen du choc, et facilite le recul. Cette condition revient à placer l’axe du balancier tout près de la roue de rencontre (à rapprocher les lames dentées L et L’ de la figure schématique). Pour qu’une des palettes échappe presque tangentiellement et que l’autre heurte presque normalement, l’angle POP’ doit être voisin d’un droit.

5. Perfectionnement d’Huyghens.

1^o — Jusqu’en 1657 les horloges et les montres furent réglées, plutôt mal que bien, par le système d’une roue de rencontre et d’un balancier. La seule différence entre les horloges et les montres était dans la substitution d’un ressort moteur au poids moteur, ce qui rendait le système portatif.

Les appareils ainsi réglés sont d’une précision très médiocre. Les moindres irrégularités de la roue interviennent pour rendre inégales les périodes successives du balancier. À la vérité la période qui correspond au tour de la roue de rencontre est plus constante que ne le sont les oscillations isolées ; c’est elle qui intervient dans la mesure d’un temps assez long^

Mais l’épaississement des huilés, c’est-à-dire la variation des frottements, a sur cette période une influence énorme.

Pour fixer les idées, rapportons que, le landgrave Guillaume IV de Hesse-Cassel ayant inventé vers 1570 la méthode de détermination des ascensions droites par la différence des temps de passage des étoiles dans un cercle horaire, Tycho la désapprouva comme incorrecte.

Avec nos horloges précises, cette méthode est aujourd’hui la base de l’Astronomie de position.

Galilée avait songé à l’emploi du pendule ; mais sa méthode butait sur deux difficultés : le comptage et l’entretien. Il avait bien appliqué un système compteur au pendule, mais l’amortissement en était accru.

2^o — Huyghens eut l’idée de substituer un pendule au balancier, plus généralement, par un procédé quelconque (action de la pesanteur, action d’un ressort spiral ou non), d’imposer au balancier une période propre.

À l’appareil que représente la figure 2, ajoutons un ressort spiral dont une des extrémités est fixée à la cage de l’appareil, et l’autre liée à l’axe OO : nous avons le régulateur des montres tel qu’Huyghens le proposa. Supprimons les masses M, faisons tourner la figure de $90^{\circ },$ prolongeons d’un côté la barre transversale du balancier, fixons un poids au long bout de la barre : nous avons l’horloge à pendule.

Dans les deux cas nous sommes forcés de recourir à une roue de champ engrenant sur un pignon (les roues d’angle, roues coniques ne sont pas employées en Horlogerie en raison de la difficulté de leur construction). En effet, dans la montre qui est plate par nécessité, le ressort spiral moteur doit être parallèle au ressort réglant et au balancier : il produit donc un couple dont l’axe est normal à l’axe de la roue de rencontre, couple dont il faut faire tourner l’axe d’un angle droit. Dans l’horloge, la force motrice est due à un poids suspendu par une corde moyennement parallèle à la tige du pendule.

La roue de champ est un cylindre denté ; je l’ai représentée schématiquement en coupe.

La découverte d’Huyghens dont l’importance est capitale, ne comporta donc aucun mécanisme nouveau ; à tel point que la transformation des anciennes horloges en horloges perfectionnées fut quasi instantanée. On ne connaît pas d’autre exemple d’une amélioration si essentielle dans un appareil de première utilité, aussi brusque et obtenue à moins de frais.

Voici une remarque amusante. Dans la figure 2 je suppose que l’axe OO repose sur son pivot. En réalité pour diminuer le frottement, il était suspendu par un double cordon qui se tordait et détordait alternativement. Remplaçons ce cordon par un gros fil d’acier de diamètre convenable, encastré dans la pièce de suspension (coq) et à l’extrémité de l’axe OO : l’ancienne horloge est transformée en une horloge très moderne à fil de torsion (§ 42).

Les raisons mécaniques du succès de l’invention sont faciles à démêler. Elles résident dans la régularité des forces de la pesanteur et de l’élasticité qui agissent d’une manière continue pour imposer l’oscillation, comparativement à Irrégularité foncière des forces agissant par contact et surtout par choc.

Le moteur de l’horloge ne doit plus lancer un balancier qu’il lui faut ensuite arrêter pour le relancer en sens inverse : à chaque oscillation, son rôle se borne à restituer la petite quantité d’énergie absorbée par les frottements.

3^o — Tout le monde sait avec quelle facilité on entretient une cloche en mouvement pour lourde qu’elle soit ; il est même possible de la lancer en utilisant une force relativement faible, pourvu qu’on règle la période de la force sur la période d’oscillation de la cloche : preuve que l’amortissement est petit. L’énergie fournie par une traction sur la corde subsiste presque entièrement lors de la seconde traction : d’où l’augmentation régulière de l’amplitude.

Certes il faut 8 hommes pour mettre en branle le Bourdon de Notre-Dame de Paris : mais il pèse 16 tonnes.

Comme exemple d’amplitude énorme communiquée à un corps de grand moment d’inertie par une force synchrone, on donne toujours les cloches. L’exemple suivant me paraît plus curieux.

Pour lancer un pont de treillis à poutre continu, on le construit sur la rive, puis on le fait rouler en porte à faux normalement au fleuve, jusqu’à ce qu’il repose sur les piles. Pour diminuer le porte à faux, on fixe à son extrémité un bec plus léger qui rejoint la pile avant que la travée tout entière soit au-dessus du vide.

Voici une curieuse observation faite sur un pont de chemin de fer (passage du Niémen à Grodno). « Le vent suffisait à donner un mouvement d’oscillation horizontale à la travée en porte à faux. Mais ses efforts n’étant pas réguliers, l’amplitude ne dépassait pas 30 millimètres. Au contraire, si un observateur placé au sommet de la seconde pile prenait avec la main la pointe du bec (parvenu sur cette pile avec un porte à faux de 67 m.) et lui imprimait des impulsions isochrones, il portait facilement à 40 centimètres l’amplitude des oscillations. »

Or cet oscillateur d’un nouveau genre pesait 292 tonnes !

Il serait curieux de déterminer par le même procédé la période d’oscillation de la Tour Eiffel.

4^o — L’extrême diminution de l’énergie fournie par l’organe moteur (poids ou ressort moteur) eut une conséquence singulièrement heureuse qu’Huyghens ne prévoyait pas. À mesure que cette énergie diminue, il est possible d’en rendre la restitution plus régulière : sans rien changer à l’échappement, du seul fait qu’il travaille moins, les effets de ses défauts de construction s’atténuent. Conséquence : l’amplitude du balancier des horloges perfectionnées devient quasi constante ; corrélativement il importe peu que les oscillations soient isochrones (c’est-à-dire indépendantes de l’amplitude).

Nous savons qu’Huyghens inventa simultanément la régulation par le pendule et le pendule cycloïdal dont les oscillations sont théoriquement isochrones. On s’aperçut bientôt que ce dernier n’a que des inconvénients : on revint au pendule circulaire ordinaire.

Nous avons dit ci-dessus que, pour l’échappement, la période constituée par un tour de la roue de rencontre est certainement plus régulière que la période constituée par chaque vibration du balancier. En raison de l’inertie considérable que l’invention d’Huyghens permit de donner au balancier, les petites irrégularités de l’échappement ne produisent, d’une oscillation à l’autre, qu’un changement insignifiant d’amplitude. À l’intérieur d’une période constituée par un tour de la roue de rencontre, l’amplitude de l’oscillation peut varier, mais cette variation en plus et en moins de la moyenne est assurément très petite.

En résumé si l’amplitude n’est pas constante, sa variation périodique est extrêmement faible.

5^o — La nature de l’invention d’Huyghens est mise en évidence par une curieuse pratique des horlogers, maintenue jusqu’au milieu du xviii^e siècle (on en retrouve la trace dans les Manuels Roret),

On utilisait pour les montres l’ancien échappement à palette et à recul ci-dessus décrit. Après de nombreux tâtonnements, on trouva commode de régler la force motrice par rapport au moment d’inertie du balancier, de manière que sans spiral régulateur la montre fît 27 minutes à l’heure, c’est-à-dire retardât de 33 minutes. On ajoutait alors un spiral dont on réglait la longueur de manière que la montre avançât de 33 minutes sur sa première marche. Ainsi la montre fonctionnait avec ou sans spiral régulateur, mais sa marche était plus rapide et plus régulière avec le spiral. Avec les échappements modernes, la montre ne fonctionne pas sans son spiral régulateur.

L’échappement à roue de rencontre et palettes se trouve encore dans les vieilles horloges de nos campagnes.

Je me sers d’une telle horloge dont l’arc de levée (parcours du pendillon nécessaire pour que l’échappement fonctionne, demi-amplitude minima) vaut 7° ; l’arc de fonctionnement est de 14°.

Grâce au dispositif décrit au § 18, les arcs sont moitié moindres pour le pendule.

Pour obtenir quelque régularité avec les horloges à balancier inerte, on était obligé de prendre les arcs beaucoup plus grands (de l’ordre de 40° et 120°). Quand on appliqua le pendule aux horloges, on crut d’abord nécessaire de conserver des arcs notables ; les horlogers du début du xviii^e siècle imposaient aux pendules de leurs grosses horloges des parcours allant jusqu’à 50°, ce qui forçait d’appliquer une force notable aux rouages du mouvement. D’où l’intérêt au moins théorique du pendule cycloïdal. On s’aperçut bientôt que le système fonctionnait mieux avec de petits arcs ; qu’au surplus le recul amenait en partie l’isochronisme. À peine inventé, le pendule cycloïdal fut abandonné.

Comme nous allons le voir, l’échappement à roue de rencontre avance aux grands arcs ; autrement dit, il avance par augmentation de la force motrice. Conséquemment il corrige en partie le défaut d’isochronisme des oscillations pendulaires.

6. Avance ou retard des horloges par variation du couple moteur ou des frottements.

1^o — Avec les anciennes horloges à roues de rencontre et à balancier inerte (§ 3), quand on augmentait le poids moteur, l’amplitude augmentait ; simultanément la période diminuait considérablement : l’horloge avançait.

Qu’arrive-il pour une horloge réglée par un pendule ?

Supposons d’abord que l’échappement ne modifie par la période.

En augmentant le poids, on augmente l’amplitude.

Les oscillations du pendule circulaire n’étant pas rigoureusement isochrones et la période croissant avec l’amplitude, l’horloge retarde, mais de peu (voir le tableau du tome I, § 157).

Ajoutons l’échappement. Ce fut un grand étonnement pour les horlogers contemporains d’Huyghens de constater que la période de leurs horloges devenait presque indépendante du poids moteur. Mais ils constatèrent aussi que suivant les échappements, et pour un échappement donné, suivant le profil de ses courbes, tantôt l’horloge avance, tantôt elle retarde quand on augmente le poids moteur.

L’échappement modifie la période du pendule libre ; il la modifie en fonction de l’amplitude, suivant une loi qui dépend des conditions de l’expérience. Précisons ces conditions.

2^o — Nous pourrions nous servir de la formule établie au tome I, § 157, mais il vaut mieux reprendre l’analyse directe du phénomène en n’utilisant que les résultats qualitatifs de ce paragraphe et la figure qui le termine.

Supposons d’abord que le choc ait lieu au voisinage de la position d’équilibre, un peu après cette position, alors que l’élongation est $\theta .$ Soit $u$ la vitesse de rotation alors à peu près constante. Le temps mis pour parvenir à l’élongation $\theta$ est :

$\theta \ :\ u.$

Brusquement alors, un choc fait passer la vitesse de la valeur $u$ à la valeur $u+\delta u.$ Le temps qu’avec cette nouvelle vitesse le mobile aurait mis à passer de la position d’équilibre à l’élongation $\theta$ est $\theta \ :(u+\delta u).$ D’où un allongement de la période égal à :

$\delta \mathrm {T} ={\frac {\theta }{u}}-{\frac {\theta }{u+\delta u}}={\frac {\theta .\delta u}{u^{2}}},$

ce qui est précisément la formule du tome I, § 157.

Ainsi quelles que soient les forces amortissantes pour le reste de l’oscillation, l’allongement de la période se calcule immédiatement, connaissant la vitesse maxima et la variation que le choc imprime à cette vitesse. C’est un allongement si le choc a lieu après le passage à la position d’équilibre ; c’est un raccourcissement s’il a lieu avant ce passage, comme on le voit immédiatement en reprenant le raisonnement précédent. De toute manière, la variation est proportionnelle à l’élongation $\theta$ pour lequel le choc se produit.

3^o — Soit $\mathrm {I}$ le moment d’inertie du balancier. Son énergie cinétique maxima est $u^{2}\mathrm {I} \ :\ 2.$ Quand la vitesse croît de $\delta u,$ cette énergie croît de :

$\delta \mathrm {W} =2\mathrm {I} u\delta u.$

Transportons la valeur de $\delta u$ dans la formule (1), il vient :

$\delta \mathrm {T} ={\frac {\theta }{2\mathrm {I} u^{2}}}\delta \mathrm {W} .$

Conséquence de cette formule : tout ce qui augmente les frottements, par conséquent tout ce qui diminue la vitesse $u$ au passage par la position d’équilibre, augmente l’effet d’un échappement qui fournit une énergie constante $\delta \mathrm {W}$ à une distance constante $\theta$ de la position d’équilibre.

Voici une intéressante application de cette règle. Pour une montre accrochée (au pendu), les frottements sont plus grands que pour une montre posée sur un plan horizontal (au plat). Donc l’effet de l’échappement sur la période est plus grand au pendu qu’au plat.

Si (comme c’est le cas d’un échappement libre à ancre) l’échappement allonge la période, la montre au pendu retarde par rapport à la montre au plat. Si (comme c’est ordinairement le cas de l’échappement libre à détente et à coup perdu, § 27) l’échappement raccourcit la période, la montre au pendu avance par rapport à la montre au plat.

4^o — C’est un leurre d’espérer calculer l’allongement ou le retard dû à un échappement, tant les phéüomènes sont complexes.

Mais on trouve facilement l’allure des phénomènes.

Comme exemple voyons ce qui se passe pour un échappement libre à ancre (§ 24) tel qu’on le construit ordinairement (échappement pour chronomètres).

Fig. 7.

La figure 7 représente schématiquement la loi des couples pour uîie demi-oscillation.

De A en B le balancier est soumis à l’action accélératrice du ressort spiral et à l’action retardatrice des frottements. Ceux-ci amènent un allongement de la période, mais qui sera compensé par la diminution produite suivant le parcours égal DE.

En B a lieu le dégagement. Pour obtenir un certain déclenchement (dont nous allons dire le rôle), le balancier doit produire un effort ; d’où un retard qui n’est compensé par rien. Le déclenchement a mis en œuvre un appareil d’impulsion qui produit un couple accélérateur de C en D. Il est tel que la somme des aires ombrées soit nulle.

L’avance suivant CO est compensée par un retard suivant OC’. Mais le retard produit par le couple accélérateur suivant C’D n’est compensé par rien.

En définitive suivant BC s’exerce un couple retardateur, suivant C’D s’exerce sur un couple accélérateur qui tous deux produisent un allongement de la période.

Conséquence : la période du système avec son échappement est plus longue que la période du système débarrassé de son échappement ; l’échappement allonge la période.

5^o — Choix du poids moteur.

Les échappements usuels des horloges (à repos de Graham, à chevilles…), agissent en majeure partie après le passage du pendule par sa position d’équilibre. Ils allongent donc la période ; cet allongement diminue quand l’amplitude augmente.

On dit parfois qu’ils produisent une avance aux grands arcs. Cela signifie, non pas qu’aux grandes amplitudes ils diminuent la période, mais qu’ils l’allongent moins qu’aux petites amplitudes. L’avance aux grands arcs est relative : c’est la diminution d’un retard.

En conséquence l’augmentation du poids moteur produit ordinairement une avance, au moins tant que l’amplitude ne devient pas trop grande.

Après quoi c’est la variation de l’amplitude qui agit le plus (nous savons que les oscillations d’un pendule ne sont pas rigoureusement isochrones) : la période passe donc par un minimum (fig. 8). C’est pour le poids moteur qui correspond à ce minimum, que les variations d’amplitude (dues par exemple à l’épaississement des huiles) agissent le moins sur la marche.

De même pour les chronomètres, si le ressort spiral n’est pas isochrone et retarde aux grands arcs (comme le pendule), l’échappement avançant aux grands arcs peut amener un isochronisme plus parfait.

L’action de l’échappement n’est donc pas nécessairement nuisible ; elle peut compenser, et d’une manière très rationnelle, le défaut d’isochronisme. Nous verrons que dans ce but les horlogers du xviii^e siècle préconisaient l’échappement à recul ; c’était une erreur au point de vue mécanique. Il faut toujours que l’échappement restitue l’énergie quand le pendule est au voisinage de sa position d’équilibre : nous venons de montrer qu’en produisant son effet urr peu après le passage à cette position, l’échappement compense le défaut d’isochronisme. Les échappements à recul au contraire agissent au bout des oscillations ; leur action est considérable, mais très difficilement réglable en raison de la variation des frottements.

7. Échappement de Graham (à repos).

1^o — La roue dentée tend à tourner dans le sens F sous l’action du poids P. Nous figurons ses dents triangulaires ; comme seule leur pointe entre en prise, leur profil est quelconque, mais évidé de manière à ne pas gêner le mouvement des autres pièces.

L’ancre tourne autour de l’axe O. Elle porte deux becs abc, def qui constituent sa partie active ; la forme du reste est quelconque, mais suffisamment évidée. Les profils ab, de, sont les repos d’entrée et de sortie ; les profils bc, ef, sont les inclinés d’entrée et de sortie.

2^o — Étudions le fonctionnement de l’appareil à partir de la position figurée. Supposons l’ancre liée au pendule. La roue d’échappement tournant dans le sens F, la pointe d’une dent de gauche appuie sur l’incliné bc, pousse l’ancre dans le sens F’, et lui donne une petite impulsion. L’ancre tourne d’un angle i.

La dent de gauche échappe.

Après une petite rotation de la roue (chute), une dent de droite tombe sur le repos éd. Comme le profil ed est un arc de circonférence ayant le point O pour centre, il y a repos pour la roue : son azimut reste invariable pendant les opérations que nous allons voir.

L’ancre continue son mouvement dans le sens F’, parcourt l’arc supplémentaire s et atteint son élongation maxima. Elle revient, parcourt l’angle s en sens contraire, puis un petit angle r (repos) ; après quoi la pointe de la dent de droite atteint le bord $e$ de l’incliné $ef.$

Ces opérations constituent une demi-période du phénomène.

Pour obtenir la seconde demi-période, répétons ce qui précède en changeant droite en gauche, et réciproquement.

La pointe de la dent de droite glisse sur l’incliné $ef,$ puis échappe. L’ancre décrit l’arc d’impulsion $i$ dans le sens inverse de $\mathrm {F'} .$ Après la chute, une dent de gauche tombe sur le repos $ab$ dont le profil est un arc de cercle de centre $\mathrm {O} \ ;$ la roue se repose. L’ancre se meut vers la droite, décrit l’arc s, atteint son élongation maxima, revient, décrit t’arc s en sens inverse, puis le petit arc $r.$ La pointe d’une dent de gauche atteint le bord $b$ de l’incliné $bc\ :$ la période est accomplie.

Et ainsi de suite.

En définitive partons d’un bout de l’oscillation. L’ancre décrit l’angle $s$ supplémentaire, le repos $r,$ l’angle d’impulsion $i,$ enfin l’angle supplémentaire $s$ de l’autre côté.

La somme de ces angles vaut deux fois l’amplitude $\mathrm {A} \ :$

$2\mathrm {A} =s+r+i+s=r+i+2s.$

Les angles $r$ et $i$ sont donnés par construction ; $s$ est arbitraire. L’angle $r$ est nécessaire pour que deux échappements immédiatement consécutifs soient impossibles : il faut être sûr qu’après la chute, la dent que l’ancre doit arrêter tombera bien effectivement sur elle.

Théoriquement rien n’empêche de prendre nul l’angle supplémentaire $s.$

Le parcours correspondant à cette hypothèse s’appelle levée apparente :

$l=r+i.$

C’est le double de l’amplitude minima compatible avec le fonctionnement du système.

Reprenons en détail la description précédente.

8. Tracé de l’échappement de Graham.

1^o — Il est très intéressant comme montrant la complexité des problèmes pratiques. Quand les algébristes arrivent là-dedans, ils ne savent plus à quel saint se vouer ; tout est arbitraire. Étant incapables de s’en tirer, ils déclarent que ça n’a pas d’intérêt. Si l’on n’avait pas l’expérience pour supprimer l’arbitraire, on serait bien malheureux.

Partons du cercle $\mathrm {C}$ (de rayon $\mathrm {R}$) sur lequel sont les pointes des dents (seule partie agissante). Raisonnons sur 30 dents à 12° l’une de l’autre ; la figure 10 les montre plus écartées pour la commodité du dessin, le lecteur ne s’étonnera donc pas que mes angles soient faux.

Première arbitraire : nous allons prendre 4 dents et demie pour intervalle de l’ancre. Rien n’impose ce nombre ; dans le cas usuel où il y a 30 dents, on prend ordinairement 7 dents et demie ; mais on va jusqu’à 10 dents et demie, c’est-à-dire jusqu’au tiers de la circonférence.

Quoi qu’il en soit, divisons les deux derniers intervalles en quarts. Prenons les points A aux derniers quarts. Pour cinq intervalles nous avons 60°, desquels je retire deux quarts d’intervalle, soit 6°.

Reste 54° que je divise par 2. D’où $\alpha =27^{\circ }$

Ainsi sont définis les points fondamentaux A.

En A menons les tangentes au cercle C. Elles se coupent au point $\mathrm {o}$ qui sera l’axe de l’ancre.

Du point $\mathrm {O}$ comme centre décrivons le cercle $\mathrm {C'} .$

Les becs de l’ancre sont compris entre deux cercles de centre $\mathrm {O} .$ À la rigueur ces cercles pourraient couper le cercle C en deux points distants de 6° (demi-intervalle). Mais il n’y aurait pas de jeu, pas de chute. À peine la dent 6 aurait elle échappé, que la dent 1 viendrait en prise. Nous diminuons donc arbitrairement la distance des cercles qui limitent les becs de l’ancre.

Ces becs, en acier, sont portés par une pièce de laiton ; elles reposent dans une gorge fraisée où elles sont maintenues par des plaques vissées.

2^o — Il s’agit maintenant de disposer les inclinés, ou faces de levée. Nous sommes gênés par la dissymétrie essentielle, inévitable, de l’appareil. Quoi que nous fassions, nous ne pouvons réaliser des deux côtés l’identité des actions. ’

Le repos de gauche est la face inférieure du bec ; c’est la face supérieure à droite. Les inclinés sont évidemment l’un vers le bas, l’autre vers le haut. Il y a de ce chef dans nos solutions une dissymétrie impossible à supprimer.

Dans la figure 10, je suppose que la dent 6 vient d’échapper. Je maintiens la fourche immobile. On est au milieu de la chute ; ni l’un ni l’autre becs ne touchent l’ancre. La dent 1, après avoir fini la chute, tombe sur le repos du bec de gauche. D’où la nécessité que le bout a de ce repos soit un peu en dedans du cercle C. La petite longueur dont il a fallu avancer le bec dans la fourche BB est vue du centre $\mathrm {O}$ de rotation, à la distance $\mathrm {{\overline {AO}}=L,}$ sous un angle $r$ qui est l’angle de repos.

Il est de l’ordre de 30’. Nous n’avons du reste pas à nous en préoccuper ; grâce à la mobilité du bec dans la fourche, c’est une question de réglage.

Je prends alors la fourche à la main et la déplace très lentement dans le sens $f,$ Après qu’elle a tourné de l’angle $r,$ la pointe de la dent 1 arrive au début $a$ de l’incliné.

Cet incliné (face de levée ou d’impulsion) est déterminé par la condition que le glissement de la pointe tout de son long corresponde à la rotation $i$ (angle d’impulsion) de la fourche.

On se reportera à la petite figure, à gauche et en haut, où le bec d’entrée est reproduit, rectifié.

On a :

/ == 5c : L, 5c = /itgY

/i est la largeur du bec, y est l’inclinaison de la face de levée. L’angle i est de l’ordre du degré. Bref à partir de l’instant où la pointe de la dent 6 échappe, où la pointe de la dent 1 arrive sur le repos du bec de gauche, jusqu’à l’instant où la dent 1 échappe, la fourche tourne d’un angle (dit de levée) défini par la rotation :

levée = repos -b impulsion = /=r + /. La levée est de l’ordre de 1° 30’. On prendra pour l’autre bec la même inclinaison y. A l’instant où la dent 1 échappe, la chute commence. A la fin de la chute, la pointe de la dent 5 tombe sur le repos du bec de droite. Arrêtons le système, revenons en arrière. Par un réglage convenable du bec de droite dans la fourche, arrangeons-nous de manière que la pointe de la dent 5 arrive à l’incliné après la rotation r de la fourche. Elle glisse alors sur l’incliné, forçant la fourche à tourner de l’angle i. Enfin elle échappe après que la fourche a tourné de l’angle (de levée) / = r + i. La période du phénomène est accomplie.

^.ooole 

L’angle de levée est donc le double de l’amplitude minima que doit avoir l’oscillation de la fourche pour que l’appareil fonctionne : c’est aussi bien l’arc tolal dont la fourche doit tourner, alternativement dans un sens et dans l’autre, pour que le fonctionnement soit possible.

De cet angle de levée, la portion $i$ est déterminée par construction, la portion $r$ est réglable à volonté, grâce à la mobilité des becs dans la fourche.

Mais rien ne nous force à arrêter la fourche immédiatement après l’échappement de la dent 1 ; sans inconvénient elle peut parcourir, aller et retour, un certain arc $s$ supplémentaire, pendant lequel la dent 5 frotte sur le repos du bec de droite. De même après l’échappement de la dent 6, au lieu d’envoyer immédiatement le point $a$ vers la gauche, nous pouvons lui faire parcourir vers la droite l’angle $s.$

En définitive, soit $\mathrm {A}$ l’amplitude de l’oscillation de la fourche ; on a :

$2\mathrm {A} =r+i+2s=l+2s.$

$2\mathrm {A}$ est de l’ordre de 3 à 4°.

3^o — Pour fixer les idées, mettons tout cela en nombres. Posons que le nombre de dents à la roue d’échappement est de 30 ; le nombre des dents embrassées par l’ancre est de 7,5.

Prenons 30 mm. pour rayon de la roue. On a :

$7,5\times 12=90,\qquad \alpha =90:2=45^{\circ },\qquad \mathrm {L=R} =30$ millimètres.

Posons que la largeur $h$ des becs sous-tend un angle de 5° (au lieu du maximum 6) à son intersection avec le cercle $\mathrm {C} .$

D’où : $h=30\times 0,105=3,15$ millimètres.

Prenons 1° pour l’angle d’impulsion. Nous avons :

${\overline {bc}}=30\times 0,01745=0,52$ millimètres.

$\operatorname {tg} \gamma =52:315=0,61,\qquad \gamma =31^{\circ }$ environ.

La longueur qui correspond au repos de 30’ est :

${\overline {bc}}:2=0,26$ millimètres.

4° — Égalisation des repos.

Avec quelque soin qu’on ait réglé les becs dans la fourche, en les faisant glisser dans leurs gorges, le revissage des vis $v$ amènerait à lui seul une petite irrégularité. Aussi raccorde-t-on toujours l’ancre au pendule par une pièce qui permet d’égaliser les intervalles entre les battements successifs. L’oreille est choquée par la moindre inégalité ; sous ce rapport sa précision atteint facilement le centième de seconde.

La tige $\mathrm {AB}$ est montée sur l’axe horizontal de l’ancre qui est dans le prolongement de l’axe du pendule. Elle porte à sa partie inférieure un cadre de laiton dans lequel glisse Pécrou E d’une vis V. Sur l’écrou est fixée une tige cylindrique horizontale qui entre juste dans une rainure verticale R ménagée dans la tige du pendule F. En faisant tourner la vis V, on modifie l’azimut relatif de la tige AB et du pendule : on obtient l égalité des intervalles entre les battements successifs. Si par construction les angles d’impulsion i sont égaux pour les deux becs (égalités des angles y), légalité des battements amène l’égalité des sommes r + s. En raison de la dissymétrie, l’égalité de ces sommes n’impUque pas l’égalité des chemins parcourus par les pointes des dents sur les repos des becs à droite et à gauche. 9. Couples dus à l’échappement de Graham. 1° — La figure 12 représente la loi de variation des couples appliqués Fig. li. au pendule. J’y suppose les frottements indépendants de la vitesse et le couple exercé par la roue constant.

En $\mathrm {POQ}$ est représenté à part le couple quasi linéaire dû à la pesanteur.

De $\mathrm {A}$ à $\mathrm {C} ,$ la dent de gauche frotte sur le repos du bec de gauche ; elle parcourt l’arc $s_{g}+r_{g}$ (supplémentaire $+$ repos). Le couple est résistant, négatif par conséquent.

De $\mathrm {D}$ à $\mathrm {E}$ a lieu l’impulsion sur l’incliné de gauche ; il correspond à l’angle $i_{g}.$ Le couple est moteur.

L’échappement se produit à gauche ; c’est au tour du bec de droite de supporter la roue le long de l’arc supplémentaire $s_{d}.$ Le couple est négatif. Pour l’équilibre dynamique la somme des travaux des couples doit être nulle.

Pendant le retour du pendule la courbe des couples est $\mathrm {HKIJLMN.}$ Il y a repos sur le bec de droite (parcours $s_{d}+r_{d}$), impulsion par le bec de droite $(i_{d}),$ enfin repos à gauche sur l’arc supplémentaire $(s_{g}).$

2^o — De ce qui précède résulte immédiatement que la période du pendule libre est plus courte que la période du pendule entretenu.

En effet l’entretien n’est pas symétrique par rapport à la position d’équilibre : il se fait en majeure partie après la traversée de la position d’équilibre : d’où retard.

Seconde conséquence : l’importance relative de la dissymétrie diminue quand l’amplitude augmente.

Il y a donc avance aux grands arcs du fait de l’échappement.

Je ne dis pas que pour les grands arcs, l’échappement produit une avance ; il produit toujours un retard, mais dont la grandeur décroît quand l’amplitude augmente. La période du pendule est toujours plus longue (à égalité d’amplitude) que si l’échappement n’existait pas ; mais l’allongement diminue à mesure que l’amplitude augmente.

Troisième conséquence : l’échappement corrige en partie le non-isochronisme des oscillations.

Nous savons en effet que les oscillations d’un pendule ne sont pas isochrones. Elles dépendent de l’amplitude et croissent quand l’amplitude augmente. L’allongement de la période par l’échappement décroissant quand l’amplitude augmente, une compensation partielle a toujours lieu.

10. Échappement à ancre (à recul).

1^o — Les échappements à recul (dont le prototype est l’échappement à roue de rencontre ci-dessus décrit) ne sont plus guère employés que dans les horloges de fabrication commune. Ils conservent un rôle pédagogique intéressant en raison de la discussion dynamique de leurs propriétés. Je décrirai donc le plus usuel : ce que j’ai dit de l’échappement à repos de Graham me permet d’être bref.

Pour passer de l’échappement à repos à l’échappement à recul, nous modifions les profils des repos ; ils ne font plus partie de circonférences ayant leurs centres sur l’axe $\mathrm {O}$ de l’ancre.

Le lecteur n’oubliera pas que seules sont actives les pointes de la roue d’échappement (fig. 13).

Dans l’échappement à*repos les profils des repos sont am pour l’entrée, a !ni* pour la sortie : ce sont des circonférences de centre O. Prenons maintenant pour centres deux oints tels que C et C’ ; les profils deviennent an et a’n' ; l’échappement est à recul.

En effet la dent 6 vient d’échapper, l’ancre va vers la droite.

La pointe de la dent 1 tombe sur le pseudo repos du bec A.

Fig. 13.

En raison de la forme du profil an, elle recule légèrement, quand l’ancre continue sa course vers la droite.

Arrivée au bout de son oscillation, l’ancre rétrograde : la pointe de la dent 1 avance d’abord lentement le long du pseudo repos na, puis vite le long de la levée ab ; après quoi elle échappe.

Même raisonnement pour la dent 5 dont la pointe tombe alors sur le pseudo repos a’n' du bec A’.

Il y a dans le choix des points G et C’ un arbitraire que chaque constructeur supprime à sa manière. Au surplus rien ne force à conserver les points anguleux a et a’ ; on arrondit les becs comme le représentent les traits bpn, b’p'n.

C’est au petit bonheur que cet arrondissement est effectué.

2^o — Les horlogers du xvme siècle attachaient au recul une importance énorme, parce qu’il corrige le non-isochronisme des oscillations. Discutons ce point.

Les oscillations du pendule ne sont pas isochrones ; la variation de la période croît comme le carré de l’amplitude. Elle n’aurait aucune importance si l’amplitude restait constante : nous ne demandons à l’horloge que l’invariabilité de la période ; peu nous importe qu’elle soit invariable pour une raison ou pour une autre. Mais la force motrice restant constante, l’épaississement des huiles amène une diminution continue de l’amplitude : d’où l’intérêt d’une période rigoureusement indépendante de l’amplitude, intérêt d’autant plus grand qu’on utilise des amplitudes plus grandes.

Aujourd’hui pour les horloges astronomiques, on utilise des huiles épaississant peu ; on choisit une amplitude maxima extrêmement petite : dans ces conditions les variations accidentelles du fait de l’amplitude sont de l’ordre de celles que cause la variation de la pression atmosphérique, variation qu’on ne peut éviter. De plus une horloge astronomique se règle autant dire tous les jours ; on ne lui demande une marche invariable que pendant quelques jours, enfin on corrige les variations systématiques de marche avec de petits poids ajoutés. On utilise donc des échappements à repos, simples de construction et dont les propriétés sont bien nettes. Nous savons du reste qu’ils amènent une avance aux grands arcs (§ 9) et corrigent un peu le non-isochronisme des oscillations.

Nos pères avaient la prétention d’attaquer le problème de front : d’où les échappements à recul. Ils avaient d’ailleurs la prétention que leurs pendules d’appartement, fussent exactes ; aujourd’hui nous considérons comme un réglage excellent une variation de 5 à 10 minutes par quinzaine (ce qui fait beaucoup plus de 20 à 40 secondes par jour, en raison des compensations d’erreurs qui se produisent ordinairement). Or dans les pendules d’appartement l’amplitude de l’oscillation des pendules est de l’orde de 10° (arc total 20°) ; d’autre part, le moteur est un ressort sans fusée ; dans ces conditions l’isochronisme vrai serait évidemment utile, la force motrice variant au moins du tiers de sa valeur entre les valeurs qui correspondent aux états extrêmes de tension du ressort moteur.

3^o — Le lecteur se reportera au tome I, § 120. Sous une autre forme il retrouvera dans l’échappement à recul le mécanisme décrit en cet endroit. La pression $\mathrm {P}$ est due au rouage ; elle est sensiblement invariable. Les cylindres $an,\ a'n',$ jouent le rôle du cylindre $\mathrm {ABC}$ de la figure 130.

Toutefois les frottements compliquent le phénomène.

Voici comment on peut poser le problème.

On se donne les frottements ; par exemple, les huiles sont fraîches. On modifie l’amplitude en faisant varier le poids moteur. On conçoit que par un choix convenable du profil des pseudo repos $an$ et $a'n'$ la période puisse être rendue indépendante de l’amplitude, c’est-à-dire du poids moteur. Effectivement Berthoud obtint par tâtonnement un échappement à recul tel que l’isochronisme n’était pas sensiblement altéré en multipliant par 11 la force motrice.

Ce résultat serait plus facilement atteint en combinant un échappement à repos nvec le système cylindre-levier que j’ai décrit, ou avec un appareil à ressort tel que eelui du paragraphe 124, tome I.

Mais en pratique le problème se pose autrement. On laisse invariable le poids moteur, on fait varier les frottements, par suite l’amplitude varie ; on demande d’obtenir l’isochronisme. Il est sûr que les deux problèmes ne sont pas résolus simultanément. Corrélativement le résultat de Berthoud, très intéressant en soi, est d’intérêt pratique minime. Le second problème, qui est le vrai, paraît bien difficile à résoudre : comment raisonner et expérimenter sûrement sur des huiles épaissies ?

Et c’est pourquoi les échappements à recul sont abandonnés pour les horloges précises. On préfère supprimer le problème en limitant les amplitudes, que de chercher à le résoudre par la complication de l’appareil dont la discussion devient impossible.

4^o — Expériences de Berthoud.

Je trouve dans le traité de Berthoud des expériences intéressantes pour fixer les ordres de grandeur et montrer comment se pose le problème des échappements.

Il opère avec une horloge d’expérience réduite à 2 mobiles. Le premier est constitué par un axe portant le cylindre sur lequel s’enroule la corde tirée par le poids, et une roue de 180 dents. Le second axe porte un pignon de 6 ailes et une roue d’échappement de 60 dents.

On modifie la forme de l’ancre d’une expérience à l’autre.

Berthoud opère d’abord avec un échappement à repos de Graham (§ 7). Voici les résultats. Par arc il faut entendre le double de l’amplitude. Par marche il faut entendre l’avance diurne.

Poids   1°		2°		3°
Arcs   8°		12°		14°
Marches   0s		-120s		-168s

L’arc de levée était de 5° 30'.

Remplaçant l’échappement à repos par un échappement à grand recul, il trouve :

Poids   1°		2°
Arcs   8°		10°
Marches   0s		+204s

Ainsi au lieu d’un retard croissant avec le poids, nous avons maintenant une avance. Enfin avec un recul modéré, il trouve une durée d’oscillation indépendante du poids.

5^o — On peut se demander jusqu’à quel rouage le recul reste perceptible. Cela dépend évidemment de sa grandeur. Très grand sur la roue d’échappement dans un coucou, par exemple, il reste nettement perceptible sur la roue de seconde ; on le distingue avec une loupe sur la roue de centre. Il n’est donc pas absolument exact de dire que les rouages d’une horloge ne fonctionnent que dans un seul sens, les roues menant les pignons : pendant le recul, les pignons mènent les roues.

11. Divers échappements à ancre (repos et demi-repos).

La figure 14 représente deux échappements très faciles à construire et qu’on utilise fréquemment, surtout le premier.

Fig. 14.

Je n’ai pas représenté la roue d’échappement.

1^o — Échappement de Brocot.

Les inclinés sont constitués par des demi-rouleaux en acier ou en pierre. La pointe de la dent est schématiquement représentée par la cheville d qui se meut dans le sens de la flèche.

Le lecteur vérifiera qu’il existe un recul très léger.

2^o — Échappement à palettes.

Les palettes sont des lamelles d’acier insérées dans des bouchons métalliques qui entrent dans des trous percés dans l’ancre. Les palettes se règlent et se remplacent aisément. Le recul croît avec l’angle a.

3^o — Échappement avec inclinés sur la roue.

Dans les échappements qui précèdent, les dents de la roue n’agissent que par leur pointe ; peu importe leur profil ; on le choisit quelconque, mais tel, que les dents soient solides et que précisément seule la pointe entre en prise. Dans l’échappement qui suit, les inclinés sont sur les dents. Le recul dépend de l’angle a que fait la face utile (avant) de la dent avec le rayon. Si cet angle est nul, l’échappement est à repos, puisque les droites ab, cd, qui passent par les axes géométriques de rotation et par le début de l’incliné de la dent, sont prises perpendiculaires l’une sur l’autre. Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/52 Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/53

Elle suit le pendule dans ses oscillations, grâce à une pièce analogue à celle de la figure 11.

Les bords supérieurs quasi horizontaux des becs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des circonférences de centre $\mathrm {O}$ (repos).

Les becs sont terminés par des plans inclinés que nous allons tracer.

Tenons la fourchette immobile. Nous sommes au milieu de la chute ; le goujon 2 vient d’échapper au bec $\mathrm {B} ,$ le goujon 1 va tomber sur le repos du bec $\mathrm {A} .$

Dès que le goujon 1 a touché le bec A, déplaçons la fourche dans le sens $\mathrm {F} .$ Elle décrit l’angle $r$ (repos), tandis que le goujon frotte contre la partie circulaire du bec ; la roue $\mathrm {O'}$ reste immobile. Puis le goujon atteint l’incliné du bec et glisse dessus : la fourche décrit l’angle $i$ (impulsion) ; après quoi le goujon échappe.

L’angle $i+r=l,$ est la levée.

Aussitôt revenons en arrière.

En traçant convenablement le bec $\mathrm {B} ,$ nous pouvons nous arranger de manière que le goujon 1 frotte sur le repos du bec, tandis que nous déplaçons la fourche de l’angle $r,$ puis glisse sur l’incliné, tandis que nous la déplaçons de l’angle $i.$ Après quoi le goujon 1 échappe définitivement. La période du phénomène est accomplie.

2^o — La levée est donc l’angle minimum dont il faut tourner la fourche, alternativement dans un sens et dans l’autre, pour que l’appareil fonctionne ; c’est le double de l’amplitude minima.

Rien n’empêche d’ajouter à ce minimum deux arcs supplémentaires s que le goujon parcourt sur le repos, aller et retour.

L’amplitude $\mathrm {A}$ de l’oscillation est alors donnée par la formule :

$2A=r+i+2s.$

Fixons les idées par quelques nombres. On fait par exemple dans les horloges de précision :

$r=30',\qquad i=1^{\circ }30'\qquad l=2^{\circ }\ ;$

$s=30',\qquad 2A=3^{\circ }.$

On ne dépasse pas l’étendue totale : $2A=4^{\circ }.$

Pour un pendule d’un mètre de long, cela correspond à un déplacement linéaire total D de l’extrémité inférieure :

$D=17,45\times 4=69,8$ millimètres.

La longueur L des tiges de la fourche est de l’ordre de 5 cm.

L’impulsion se produit évidemment en majeure partie après le passage par la position d’équilibre qui correspond à la position de la fourche pour laquelle la droite $\mathrm {OM}$ est tangente au cercle des goujons. La période du pendule libre est donc plus courte que la période du pendule entretenu. Tout ce que nous disons plus haut de l’échappement de Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/55 Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/56 Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/57 Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/58 Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/59 s’incline de l’angle $l:2$ sur la verticale, la masse $M$ en arrière du tableau ; il a lieu sur $\beta$ quand le pendule s’incline de l’angle $l:2$ sur la verticale, la masse $M$ en avant du tableau. L’angle $l$ est la levée de l’échappement ; il vaut $40^{\circ }$ environ dans les métronomes que j’ai sous la main.

Pour que les battements soient équidistants, la distance des faces antérieures planes des palettes est égale à la moitié de la distance des chevilles. Pour augmenter l’intensité des tocs que le métronome est destiné à produire, la chute est exagérée : cela signifie que la rotation libre de la roue, rotation sans effet utile pour l’entretien du mouvement, est relativement considérable.

J’engage le lecteur à mesurer avec précision les angles $r$ et $i$ de repos et d’impulsion, par conséquent leur somme :

$l=r+i.$

Sur un métronome, je trouve

$r=30^{\circ },\quad z=10^{\circ },\quad l=40^{\circ }.$

Je rappelle que l’amplitude $A$ des oscillations est donnée par la formule :

$2A=r+i+2s\ ;$

$s$ est l’arc supplémentaire.

2^o — L’amplitude croît très vite quand la période augmente. Comme le système moteur fournit la même quantité d’énergie $W$ pour chaque période, quelle que soit sa durée, il faut conclure que les frottements croissent beaucoup quand la période diminue (vitesses plus grandes). Pour fixer les idées, supposons que les frottements soient en partie indépendants de la vitesse, en partie proportionnels à la vitesse. Dans le premier cas, le travail absorbé est proportionnel à l’amplitude $\theta _{0}$ et indépendant de la période. Dans le second cas, il est facile de voir que le travail absorbé par oscillation est proportionnel au carré de l’amplitude et en raison inverse de la période.

Soit en effet $\theta =\theta _{0}\sin \omega t,$ l’équation du mouvement.

Le couple résistant est à chaque instant $fd\theta :dt.$

Le travail qui correspond au parcours $d\theta ,$ est :

$f{\frac {d\theta }{dt}}d\theta \ =\ f\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}dt\ =\ f\omega \theta _{0}^{2}\cos ^{2}\omega t.\omega dt.$

Intégrons pour une période. On trouve immédiatement :

$\pi f\omega \theta _{0}^{2}.$

L’amplitude est donc fournie par la relation :

$W=k\theta _{0}+{\frac {k'\theta _{0}^{2}}{T}}.$

Si $k'=0,$ l’amplitude doit rester invariable quelle que soit la période. Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/61 Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/62 Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/63 Page:Bouasse - Pendule spiral diapason, tome 2, 1920.djvu/64

2^o — Le réglage de l’échappement se fait en calant la cage de l’horloge de manière à lui donner un azimut convenable par rapport à la verticale (position d’équilibre du pendule). Cela revient à imposer à l’ancre un azimut convenable par rapport à la roue d’échappement.

On fait en sorte que les battements soient égaux.

Le réglage est terminé en utilisant le système à coulisse décrit au paragraphe 8. Parfois la coulisse est solidaire du pendule.

3^o — Quand on admet la même amplitude pour le pendule et le pendillon (ce qui est le cas ordinaire), le problème se pose de la meilleure longueur à donner à celui-ci. La théorie indique que pour éviter les secousses sur l’axe de rotation, il faut lancer le pendule en agissant à la hauteur de l’axe d’oscillation conjugué de l’axe de rotation actuel.

Assimilons la lentille à un disque à faces planes de rayon $R.$

Le carré du rayon de gyration par rapport à l’axe de ce disque est $R^{2}:2.$

Soit l la distance du centre de gravité à Taxe de rotation ; sa distance l' à l’axe d’oscillation satisfait à la relation :

$2ll'=R^{2}$

Pour fixer les idées, posons $l=5R\ ;$ il vient $l'=R:10.$ C’est dire que le pendillon devrait être quasiment aussi long que le pendule.

En fait on prend le pendillon relativement court, égal au tiers de la longueur pour les pendules dont le battement est moins d’une demi-seconde, de l’ordre de 20 centimètres pour le pendule battant la seconde.

Quelques horlogers suppriment la fourchette et fixent l’ancre directement sur l’axe du pendule. Il suffit d’avoir une fois dans sa vie démonté une horloge pour trouver absurde cette soi-disant simplification.

1. Le lecteur lira avec plaisir l’intéressant petit livre de Charles Cros : Échappements d’horloges et de montres.