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pour les substitutions de ces groupes. Ce sont les fonctions fuchsiennes.

Jacobi était arrivé, en partant des fonctions elliptiques, à la fonction qu’il avait appelée θ, c’est-à-dire à la fonction jacobienne. Elle n’est pas périodique, mais elle possède ce qu’on appelle la périodicité de troisième espèce, car en augmentant la variable d’une période, elle se reproduit multipliée par des exponentielles. Jacobi avait montré que la manière la plus simple pour exposer la théorie des fonctions elliptiques consiste à définir d’abord directement la fonction θ par une série et à en trouver algébriquement les propriétés ; une fois calculée la fonction θ, les fonctions doublement périodiques sont données par des rapports très simples.

Poincaré a suivi pour les fonctions fuchsiennes un chemin analogue. Il commence par calculer les θ-fuchsiennes sous forme de séries et il remarque les changements qu’elles éprouvent par des substitutions linéaires de la variable d’un groupe fuchsien. Des rapports formés par ces θ-fuchsiennes demeurent inaltérés lorsqu’on assujettit la variable aux substitutions du même groupe.

C’est ainsi que les nouvelles transcendantes ont été créées. Par leur introduction dans les