reproduisent augmentées de constantes, lorsqu’on tourne autour des points singuliers. Cette propriété est la source de la périodicité des fonctions elliptiques. D’une manière analogue, l’ensemble des intégrales fondamentales d’une équation linéaire à coefficients algébriques se reproduit, lorsqu’on tourne autour d’un point singulier, d’après une transformation linéaire. Il fallait chercher dans cette remarquable proposition la clef des propriétés des fonctions qui se déduisent des équations différentielles linéaires par un procédé comparable à celui de l’inversion des intégrales elliptiques.
Si l’équation est du second ordre, le rapport de deux intégrales fondamentales subit une substitution linéaire lorsqu’on parcourt un chemin fermé autour d’une singularité. Donc la variable indépendante regardée comme fonction du rapport de deux intégrales doit demeurer invariante par des substitutions linéaires de ce rapport. La propriété qui devait remplacer la périodicité était ainsi trouvée et du même coup le principe de l’inversion. Poincaré s’est attaché à cette idée fondamentale et en interprétant d’une manière géométrique ce que nous avons appelé tout à l’heure une substitution linéaire, il a commencé une étude systématique de ces substitutions faisant par-
