cle qui coupent orthogonalement un cercle fondamental donné. Or, les propriétés des arcs ainsi définis sont justement celles que la géométrie de Lobatschewsky attribue aux lignes droites. Ceci nous montre que cette géométrie logique n’est point un simple jeu de l’esprit. « Les théorèmes » de la géométrie de Lobatschewsky, — dit Poincaré[1] — sont aussi vrais que ceux de la géométrie d’Euclide à la condition qu’on les interprète comme ils doivent l’être. Ainsi, par exemple, ces théorèmes ne sont pas vrais de la ligne droite telle que nous la concevons, mais ils le deviennent si partout où Lobatschewsky dit « une droite », nous disons « un cercle qui coupe orthogonalement le cercle fondamental ». Je me trouvais donc en présence de toute une théorie, imaginée il est vrai dans un but métaphysique, mais dont chaque proposition, convenablement interprétée, me fournissait un théorème applicable à la géométrie ordinaire ».
La conclusion de ces remarques s’impose d’elle-même : le cinquième postulat d’Euclide se réduit à une convention de langage. Nous sommes convenus de nommer « droite » une
- ↑ H. Poincaré, Notice sur ses travaux scientifiques, mise à jour en 1902. Cette nouvelle rédaction de la notice d’Henri Poincaré est encore inédite. Elle paraîtra prochainement dans les Acta Mathematica.
