en plus rapidement décroissante à mesure qu’on avance dans la série. Une décomposition tout à fait analogue, à la substitution près de fonctions périodiques du temps aux fonctions exponentielles, permet de représenter par une série de vibrations simples de fréquence croissante à mesure qu’on avance dans la série, le mouvement que prend un solide élastique, ou une membrane, initialement écarté de manière quelconque à partir de sa configuration d’équilibre. Chacune des distributions ou des vibrations simples correspondant à un des termes de la série satisfait, dans les deux problèmes, à une même équation aux dérivées partielles voisine de celle de Laplace qu’introduit le problème de Dirichlet. Poincaré montre, comme l’avait fait Riemann pour ce dernier problème, que chaque distribution ou vibration simple satisfait encore à la condition de rendre minimum une certaine intégrale, avec des liaisons déterminées par la connaissance des distributions simples ou des harmoniques antérieures, dans la série, au terme cherché. Il peut déduire de là des limites supérieures pour les coefficients du temps dans les exponentielles successives ou pour les fréquences des vibrations simples consécutives.
Peu satisfait par le défaut de rigueur du
