sphère pour les amener sur la surface en formant une couche équivalente. Poincaré montre comment cette opération répétée une infinité de fois permet, et cela d’une infinité de manières, d’obtenir des développements convergents pour la densité superficielle d’équilibre électrique en un point d’une surface de forme quelconque sous la seule condition que la sur face possède effectivement deux rayons de courbure au point considéré.
La seule méthode rigoureuse donnée antérieurement à celle-ci pour la solution du problème de Dirichlet, celle de Neumann, conduisait à des développements en série dont on ne pouvait démontrer la convergence que si la surface était convexe : Poincaré devait quelques années plus tard la reprendre et lui donner le même degré de généralité qu’à sa propre méthode.
Un autre mode de démonstration, proposé par Riemann, pour la possibilité du problème de Dirichlet, manquait de rigueur et ne donnait aucun moyen défini pour obtenir la solution, mais présentait cependant un très grand intérêt parce qu’il mettait en évidence une propriété importante de cette solution, et ramenait le problème à une question de calcul des variations. Riemann avait montré que
