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PREMIÈRE PARTIE. — MEMOIRES PUBLIES PAR RIEMANN. § XVI.

Théouème. — Soient a et fi deux fonctions quelconques de x, y, pour lesquelles Vintégrale

relative à toutes les parties d’une surface T recouvrant le plan d’une manière quelconque} possède une ’valeur finie ; lorsqu’on adjoint à a des fonctions continues y ou discontinues seulement en des points isolés, et qui sur le contour sont égales à zéroy cette intégrale atteint toujours pour une de ces fonctions une valeur minima ; et} quand on exclut des discontinuités qui peuvent être détruites par une modification de la fonction en des points isolésy cette fonction est unique [S]. Nous désignerons par une fonction indéterminée continue ou qui n’admet de discontinuités qu’en des points isolés, qui sur le contour est égale à o, et pour laquelle l’intégrale relative à toute la surface, a une valeur finie, par to + A une des fonctions indéterminées a -f- A, et enfin par Q l’intégrale relative à toute la surface.

L’ensemble des fonctions forme un domaine connexe et qui contient ses limites (’), puisque l’on peut passer d’une manière continue de l’une quelconque de ces fonctions à chacune des autres, aucune d’elles d’ailleurs ne pouvant jamais tendre indéfiniment vers une fonction discontinue le long d’une ligne sans que L ne devienne alors infinie (§ XVII) ; maintenant, si l’on pose to = a + (’) C’est ce que M. Cantor a désigné depuis par les mots ensemble parfait (perfecte Menge).— (L, L.)