FONCTIONS D’UNE GRANDEUR YÀRIABLE COMPLEXE. 35 contour de cette partie sur S séparerait sur le plan B un morceau entourant Q Or, ceci est impossible lorsque Q7 est situé sur un pli de la surface S.
Or, en vertu de la proposition I, ^ ne peut, regardé comme fonction de z, être nul qu’en des points isolés ; d’autre part, puisque w est continu en les points de T que nous considérons ici, ^ ne peut devenir infini qu’en les points de ramification de cette surface, par suite, etc. c. q. f. d. III. — La surface S, par suite, est une surface pour laquelle ont lieu les hypothèses faites au § V ; sur cette surface, en chaque point Q, la grandeur indéterminée z possède une valeur déterminée, qui varie d’une manière continue avec le lieu de Q, et de dz
telle façon que est indépendant de la direction de la variation de ce lieu. Ainsi z, en attribuant à ces mots le sens précédemment indiqué, est une fonction continue de la grandeur variable complexe w dans le domaine représenté par S. D’où nous concluons ensuite :
Soient O7 et Q’ deux points correspondants intérieurs aux surfaces T et S, et soient en ces points z = z7, w = w7 ; alors, quand aucun d’eux n’est un point de ramification, ——~ tend, lorsque le z — z
point O se rapproche indéfiniment du point O7, vers une limite finie, et la représentation y est une représentation où la similitude a lieu dans les plus petites parties ; mais, quand Q7 est un point de ramification d’ordre (n — i), O7 un point de ramification d’ordre (m — i), alors, lorsque le point O se rapproche indéfiniment du point O7,
i
( w — w’ )"
„ _
(z — zfl
tend vers une limite finie, et, pour les parties de surface qui se trouvent aux points O7 et Q7, on obtient un mode de représentation facile à trouver d’après le § XIV.
