FONCTIONS D !UNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 33 un multiple de et, lorsque cet exposant est — — ladite fonction peut être transformée en une fonction continue au point O’ par l’adjonction d’une expression de la forme aj aj a,„
I 1 m
(z— z)n ( z — z’)'1 (z — z ) n
où aa2, . . ., am sont des constantes complexes arbitraires. Ce théorème renferme comme corollaire la proposition suivante :
!
La fonction w est continue au point O’ lorsque (z — zr)ttw devient infiniment petite quand les points O et O’ se rapprochent indéfiniment.
§ XV.
Concevons maintenant une fonction de z1 qui, en chaque point O de la surface T recouvrant d’une manière arbitraire le plan A, possède une valeur déterminée, et qui n’y est pas partout égale à une constante, représentée géométriquement de telle sorte que sa valeur w — u -h vi au point O soit représentée par un point Q du plan B dont les coordonnées rectangulaires sont u et e ; nous aurons alors les propositions suivantes : 1. — L’ensemble des points Q peut être regardé comme formant une surface S, à chaque point de laquelle correspond un point O déterminé variant avec ce point Q d’une manière continue sur T.
Pour le démontrer il suffit de démontrer, c’est évident, que la position du point Q varie toujours avec celle du point O (et cela, en général, d’une manière continue). Cette proposition est renfermée dans la suivante :
Une fonction w = u -j- vi de z ne peut être égale à une constante le long d’une ligne, lorsqu’elle n’est pas partout égale à une constante.
