Page:Riemann - Œuvres mathématiques, trad Laugel, 1898.djvu/63

FONCTIONS D’UNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 27 Toutes propositions dont la contradiction, c’est facile à voir, conduirait à nier l’exactitude de l’équation 1 cm j Un — — / uao 0 ou 27T ( U — «0) dy = G. démontrée dans le paragraphe précédent, contradictions par suite inadmissibles. § XII. Nous allons maintenant revenir à la considération d’une gran¬ deur variable complexe w = u viy qui, en général (c’est-à-dire sans exclure l’exception en des lignes isolées et des points isolés), possède, en chaque point O de la surface T, une valeur déter¬ minée variant avec la position du point d’une manière continue et conformément aux équations du dv du dv dx dy 9 dy dx ’ et nous sous-entendrons cette propriété de w, ainsi qu’il a été in¬ diqué précédemment (f), en disant que w est une fonction de z = x -r-yi* Pour simplifier ce qui suit, nous ferons cette hypo¬ thèse qu’il ne peut se présenter pour une fonction de z une dis¬ continuité qui serait détruite par une modification de sa valeur en un point isolé. La surface T sera, en premier lieu, regardée comme simple¬ ment connexe et recouvrant partout simplement le plan A. Théorème. — LorsqiC une fonction w de z ré éprouve jamais de solution dans la continuité tout le long d7une ligne et qu7en¬ suite, pour tout point Of de la surface où z = z w(z — zf) devient infiniment petit lorsque le point O se rapproche in- (’) Au § I, page 3. — (L. L.)