22 PREMIÈRE PARTIE* — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN* petit que R, dit du dx du dy ^ dp ^ dx dp ‘ ^ Oy dp reste toujours fini ; et, si l’on désigne par U la valeur de u pour Ôlt p — R et par M le maximum en valeur absolue de la fonction p ^ dans cet intervalle, on aura toujours, abstraction faite du signe, u — U < M(Iogp — logR), et, par conséquent, p ( u — U) et, par suite aussi, p u seront infiniment petits en même temps que p. Mais il en est de même, par hypothèse, de p^ et de ? et) Par suite encore, lorsque u1 n’éprouve aucune discontinuité, il en est de même de / du’ ,du j du , du P[uàI-uôï) etde Par conséquent, le cas envisagé dans le précédent paragraphe est bien celui qui se présente ici. Supposons maintenant que la surface T, représentant le lieu du point O, recouvre partout le plan A d’une manière simple, et concevons sur cette surface un point fixe quelconque O0 où u, x,y ont pour valeurs u0, x0y yQ. La grandeur ilogfO — Xo)ï-h(y— y0)2] = logr, regardée comme fonction de x :y7 jouit alors de cette propriété que d- logr ïoerr
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dx* dy’1 et elle n’éprouve de discontinuité que pour x — x0> y=y0, c’est-à-dire par conséquent dans notre cas en un seul point de la surface T. Par conséquent, d’après la proposition III, § IX, si l’on remplace u par logr, l’intégrale /( à loçr . du prise relativement à tout le contour deT, est égale à cette inté¬
