18 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. relative à tout le conLour de T, est égaie à la somme des intégrales relatives aux contours qui encadrent tous les lieux de discontinuité, et, relativement à chacun de ces lieux, l’intégrale conserve la même valeur, quelque étroites que soient les limites dans lesquelles on renferme ces discontinuités. Dans le cas d’un point de discontinuité cette valeur est nécessairement égale à zéro lorsque, p désignant la distance du point O à cette discontinuité, pX et pY sont en même temps infiniment petits avec p. En effet, si l’on introduit relativement à un tel point pris comme origine et avec une direction quelconque de Taxe, les coordonnées polaires p et (p, et, si Ton choisit pour contour une circonférence décrite de ce point comme centre avec un rayon p, l’intégrale prise autour de ce point sera exprimée par et ne peut, par conséquent, avoir une valeur x différente de zéro, puisque, quel que soit x, p peut être toujours pris suffisamment petit pour que, abstraction faite du signe, ~ h-Y soit, pour toute valeur de <p, plus petit que — et pour que, par suite, l’on ait
IV. — Lorsque, sur une surface simplement connexe recouvrant A, l’intégrale
ou encore
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prise autour du contour total d’une partie quelconque de la surface, est nulle, cette intégrale, prise le long d’une ligne menée
