FONCTIONS D^IINE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. (3 dans ce cas celle-ci est décomposée par les deux extrémités de la section transverse en deux parties, dont chacune par sa réunion avec la dite section forme une ligne de contour fermée ; Ou bien enfin elle prend fin en l’un des points antérieurs de son propre cours et peut alors, par conséquent, être regardée comme formée d’une ligne fermée o et d’une autre ligne /, qui relie un point de o avec un point d’une ligne de contour a, et, dans ce cas, o forme d’une part et a, /, o, / d’autre part une ligne de contour fermée. Par conséquent, dans le premier cas, au lieu de deux lignes de contour l’on en obtient une, et, dans les deux derniers cas, au lieu d’une l’on en obtient deux, d’où l’on conclut cette proposition : Le nombre de lignes fermées dont est formé le contour d’un morceau de surface n~uplement connexe est donc ou bien —n, ou bien égal à n diminué d’un nombre pair. D’où nous tirons encore ce corollaire :
Lorsque le nombre des portions de contour d’une surface n~uplement connexe est = «, cette surface est morcelée en deux morceaux séparés par toute coupure partout simple et fermée à Vintérieur de la surface.
En effet, l’ordre de la connexion n’est pas altéré par cette opération et le nombre des lignes de contour est augmenté de 2 ; par conséquent, si la surface restait connexe, elle aurait.une connexion d’ordre n et aurait en même temps (n + 2) lignes de contour, ce qui est impossible.
§ vu.
Soient X et Y deux fonctions de x, y continues en tous les points de la surface T qui recouvre A ; considérons l’intégrale /(ë + S) dT relative à tous les éléments dT de cette surface. Si l’on désigne en chaque point du contour l’inclinaison de la normale intérieure (*) sur l’axe des x par sur l’axe des y par rt, (*) Ce que Riemann entend par l’expression normale intérieure sera expliqué un peu plus loin. — (L. L.).
