SUR IL THÉORIE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. Les fonctions déterminées de cette manière. 427 1 qui deviennent en p — 1 points infiniment petites du premier ordre, sont dites des fonctions abéliennes. Elles tirent leur origine des fonctions cp par la réunion par paires des zéros et par l’extraction de la racine carrée. Leur nombre est en général fini. En effet, les congruences (3) exigent que les systèmes de grandeurs e, f soient de la forme / , ni 1 1 , rzi 1 1 / — -T- - £i <X -f- . . . -4- — tp #pl, . . . J “ ! £■ ! Ctlp -T- . .. H- - tp Clpp ) i
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où les e, désignent des nombres entiers qui peuvent être réduits à leurs résidus minima pour le module 2. La condition S(^i, ep) = 0 ne sera en général satisfaite par un tel système de grandeurs que seulement lorsque l’on aura ( 4 ) "h- £2 ^ -i -+-. .. H-* £ p &p i ( mod. 2 ). Mais il existe de tels systèmes de nombres e, e’, au nombre de (2p— 1), et, par suite, tel est aussi, en général, le nombre des fonctions abéliennes. Le complexe de nombres /£lJ £2 :, • . . , £p est dit la caractéristique de la fonction et sera désigné par v7 ? F cvcp v(s^), La caractéristique est dite impaire lorsque la congruence (4) est satisfaite ; au cas contraire, elle est dite paire.
