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CONVERGENCE DES SÉRIES THÊTA JÜ-UPLEMENT INFINIES. 421 converge également, pourvu que cette intégrale converge. On conclut de là le théorème : Si ^</(^), quand n^x7 la série aa sera convergente, pourvu que l’intégrale / f{x)dx soit convergente. «A> Maintenant, si l’on pose ^ /O) =/[ ?(r)] = F(7)> on obtiendra jf f(x)dx = fFWWy. Lorsque les deux variables x7 y décroissent simultanément et croissent simultanément (et cela jusqu’à l’infini), alors selon l’hypoth èse adoptée, pourjK croissant F(jk) décroît, tandis que croît. Les conditions de convergence trouvées précédemment se transforment par conséquent comme il suit : La série ^ aa converge lorsque, pour n ^ cp (y), an<iF[y) ou, ce qui revient au même, lorsque, pour an kV {y)7 n < cp (y) et que l’intégrale f F (y) <(’(y) dy h converge. Maintenant, si an 3> F(y)7 il en est de même de ai7 a2l . . ., &n-. Si l’on a donc a/i+1 < F (y)* n sera le nombre des termes de la série qui sont supérieurs à F (y). Le théorème s’exprimera donc encore ainsi : Si l’on désigne par F (y), ff(y) deux fonctions dont la première décroît pour y croissant, et dont la seconde croît (jusqu’à l’infini), et si le nombre des termes d’une série à termes positifs, qui sont égaux ou supérieurs à F (jk) est plus petit que cp (y), alors cette série sera convergente quand l’intégrale 50 f Fiy)v’{y)dy Db converge.