FONCTIONS D’UNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 9
§ VI.
Nous regarderons deux portions de surface comme connexes ou formées d’une seule pièce, lorsque l’on peut y mener une ligne ayant son cours à l’intérieur de la surface et joignant un point de l’une des portions à un point de l’autre ; nous les regarderons comme morcelées lorsque ce fait n’est pas possible. L’étude de la connexion d’une surface repose sur sa décomposition par l’effet de sections transverses, c’est-à-dire de coupures qui, partant d’un point du contour, sectionnent la surface d’une manière simple (aucun point n’étant traversé plusieurs fois) en rejoignant un point dudit contour. Ce dernier point peut aussi être situé sur les parties du nouveau contour prenant ainsi naissance, c’est-à-dire en un point du cours antérieur de la section transverse elle-même.
Lorsque, par l’effet de toute section transverse, une surface connexe est morcelée, elle est dite simplement connexe ; au cas contraire elle est dite multiplement connexe. Théorème I. — Une surface simplement connexe A est décomposée par chaque section transverse ah en deux morceaux simplement connexes.
Admettons que l’un de ces morceaux ne fût pas morcelé par une section transverse cd, dans les trois cas possibles où aucune des extrémités c, d n’est située sur où l’une c l’est, où toutes deux c, d le sont, l’on obtiendrait alors évidemment, en rétablissant la jonction respectivement le long soit de toute la ligne ab.> soit de la partie cb, soit de la partie cd de cette ligne, une surface simplement connexe qui ferait partie de A, et cette surface serait engendrée par l’effet d’une section transverse, ce qui est contraire à l’hypothèse.
Théorème IL — Lorsqu7une surface T est décomposée par n{ sections transverses (■) qK en un système T| de mor- (’) Par une décomposition pratiquée à Taide de plusieurs sections transverses Ton doit toujours entendre une décomposition successive, c’est-à-dire que la sur-
