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Formules

Mais, de quelque manière que ip puisse être déterminée comme fonction de z par une combinaison des opérations élémentaires du calcul, la valeur de la dérivée sera toujours indépendante de la valeur particulière de la différentielle dz [1].

Il est donc évident que par cette voie on ne peut pas exprimer une dépendance quelconque de la grandeur complexe w de la grandeur complexe z.

Ce caractère, que nous venons d’indiquer, commun à toutes les fonctions qui peuvent être déterminées d’une manière quelconque par les opérations du calcul, nous le prendrons comme base dans la recherche suivante, où l’on considérera une telle fonction indépendamment de son expression. Maintenant alors, sans en démontrer la légitimité générale et suffisante pour la définition d’une dépendance exprimable par les opérations du calcul, nous prendrons pour point de départ la définition suivante :

Une grandeur variable complexe w est dite une fonction d’une autre grandeur variable complexe 5 lorsqu’elle varie avec elle de telle sorte que la valeur de la dérivée est indépendante de la valeur de la différentielle dz.

§ II.

La grandeur 5 et de même la grandeur seront considérée comme des grandeurs variables qui peuvent prendre toute valeu complexe. (*)

  1. Cette affirmation est évidemment justifiée dans tous les cas où l’on peut tirer de l’expression de w en z, à l’aide des règles de la différentiation, une expression de ... en z ; quant à sa légitimité rigoureuse et générale, nous ne nous en occupons pas pour l’instant.— (Riemann.)