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DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN.

TABLE DES MATIÈRES

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Paragraphes 

 

Pages

  

Plan de cette étude 

 280

  

A. — Concept d’une grandeur de $n$ dimensions^[1] 

 281

I.      

Variétés continues et discrètes. Les parties déterminées d’une variété sont dites des quanta. Division de la doctrine des grandeurs continues en : 

  

  

1° Doctrine des simples rapports d’étendue, dans laquelle on ne suppose pas que les grandeurs soient indépendantes du lieu ;

 

  

2° Doctrine des rapports métriques, dans laquelle cette indépendance doit être supposée 

 282

II.      

Génération du concept d’une variété d’une, de deux,… de $n$dimensions 

 284

III.      

Réduction de la détermination de lieu, dans une variété donnée, à des déterminations de quantités. Caractère essentiel d’une variété de $n$dimensions 

 284

  

B. — Rapports métriques dont une variété de n dimensions est susceptible^[2], dans l’hypothèse où les lignes possèdent une longueur indépendamment de leur position, et où toute ligne est ainsi mesurable par toute autre ligne 

 285

I.      

Expression de l’élément linéaire. On considère comme planes les variétés dans lesquelles l’élément linéaire est exprimable par la racine carrée d’une somme de carrés de différentielles complètes 

 286

II.      

Étude des variétés de $n$ dimensions, dans lesquelles l’élément linéaire peut être représenté par la racine carrée d’une expression différentielle du second degré. Mesure de leur écart de la planarité (mesure de courbure) en un point donné et suivant une direction superficielle donnée. Pour la détermination de leurs rapports métriques, il est (sous certaines restrictions) nécessaire et suffisant que l’on donne arbitrairement en chaque point la mesure de courbure suivant $n{\frac {n-1}{2}}$ directions superficielles 

 288

III.      

Explication géométrique 

 290

1. L’article I est en même temps une préparation à des recherches sur l’analyse de situation.
2. L’étude sur les mesures métriques possibles dans une variété de n dimensions est très incomplète, bien qu’elle soit suffisante pour l’objet actuel.
   (Notes de Riemann.)