Après cette étude sur la détermination des rapports métriques d’une grandeur de dimensions, on peut maintenant indiquer les conditions suffisantes et nécessaires pour la détermination des rapports métriques de l’espace, lorsqu’on admet comme hypothèses que les lignes sont indépendantes de leur position, et que l’élément linéaire est exprimable par la racine carrée d’une expression différentielle du second degré, c’est-à-dire que l’espace est une grandeur plane dans ses parties infinitésimales.
Elles peuvent d’abord s’exprimer en demandant que la mesure de courbure en chaque point soit nulle suivant trois directions superficielles, et par suite les rapports métriques de l’espace sont déterminés, si la somme des angles d’un triangle est partout égale à deux droits.
Si l’on suppose, en second lieu, comme Euclide, une existence indépendante de la position, non seulement pour les lignes, mais encore pour les corps, il s’ensuit que la mesure de courbure est partout constante, et alors la somme des angles est déterminée dans tous les triangles, lorsqu’elle l’est dans un seul.
Enfin l’on pourrait encore, en troisième lieu, au lieu d’admettre que la longueur des lignes est indépendante du lieu et de la direction, supposer que leur longueur et leur direction sont indépendantes du lieu. D’après ce point de vue, les changements de lieu ou les différences de lieu sont des grandeurs complexes, exprimables au moyen de trois unités indépendantes.
Dans le cours des considérations que nous venons de présenter, nous avons d’abord séparé les rapports d’étendue ou de région des rapports métriques, et nous avons trouvé que, pour les mêmes
