axiome, on peut construire une Géométrie générale parfaitement logique qui renferme la Géométrie habituelle comme cas particulier.
Riemann a donné à ces importantes recherches une tournure nouvelle et spécifique, par son exposition des principes de la Géométrie analytique.
L’espace se présente alors à lui comme un cas particulier d’une variété triplement étendue où le carré de l’élément d’arc est exprimé par une forme quadratique des différentielles des coordonnées. Je ne parlerai pas davantage des résultats géométriques spéciaux qu’il obtient ainsi, ni encore moins des développements subséquents qui ont été faits dans ces théories. L’essentiel à remarquer en cette connexion, c’est que Riemann est encore ici resté fidèle à son idée fondamentale : Saisir les propriétés des choses, d’après leur mode d’existence dans l’infiniment petit. Il a ainsi ouvert ici le chemin à un nouveau Chapitre du Calcul différentiel : l’étude des expressions différentielles quadratiques à nombre de variables quelconque ; et, conjointement à ceci, à l’étude des invariants que possèdent ces expressions différentielles pour des transformations quelconques des variables. Pour compléter les précédentes considérations de cette allocution, je vais ici tenter un instant d’exposer le côté abstrait de ces questions.
Certainement il n’est pas indifférent, dans la recherche et la découverte des lois mathématiques, d’attribuer ou non aux symboles avec lesquels on opère une signification déterminée ; en effet, la présentation concrète nous fournit la liaison des idées qui doit nous conduire en avant. À l’appui de ce dire, je n’aurais qu’à répéter ce que j’ai déjà dit sur le rapport intime de la Mathématique de Riemann et de la Physique mathématique. Mais, indépendamment de ceci, les résultats qui dérivent des recherches des Mathématiques pures sont bien au-dessus de tout ce genre de particularisations. C’est un schéma général logique, système dont le contenu particulier n’est pas indifférent, ce contenu pouvant être choisi de manières diverses. À ce point de vue, il n’y a
