272 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN. Paragraphes. Pages.
II. — Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique dont les coefficients ne décroissent pas indéfiniment.
XI. Réduction de ce cas au précédent 269
Considération de certains cas particuliers.
XII. Fonctions qui n’ont pas un nombre infini de maxima et de minima. 262 XIII. Fonctions qui ont un nombre infini de maxima et de minima.... 265 NOTES.
[1] (p. 237). Supposons que la fonction f(x) ne croisse pas dans l’intervalle A entre a ? et xt > x, et désignons par g la limite supérieure des valeurs que prend f(x -h £) pour o < £ < A, c’est-à-dire une valeur qui n’est surpassée par aucune de ces valeurs fonctionnelles, mais qui peut être atteinte avec tout degré quelconque d’approximation ; ceci posé, g — f(x h— £) ne diminuera jamais pour £ croissant, mais devra néanmoins encore être infiniment petit, c’est-à-dire que l’on aura Lim[^— /(# + £)] =0, g=f(x-¥- o).
Le théorème qu’un système L de nombres réels, dont les individus, se présentant en nombres fini ou infini, ne peuvent surpasser une valeur numérique finie, possède une limite supérieure, est, il est vrai, énoncé avec précision et démontré pour la première fois par Weierslrass (comparer O. Biermann, Théorie des Fonctions analytiques ,§16 ; Leipzig, Teubner). La démonstration, basée sur les intuitions de Dedckind relatives aux nombres irrationnels (Continuité et nombres irrationnels, Brunswick, 1872 ; Viewcg), est très simple. En effet, si l’on partage la suite des nombres réels en deux parties A et B, de telle sorte que chaque nombre a de A soit surpassé par des nombres du système 2, et que chaque nombre b de B ne le soit pas, ces deux parties A et B sont séparées par un nombre existant g qui possède évidemment les attributs caractéristiques de la limite supérieure de S.
[2] (p. 242)* Ici se place un fragment de note de la main de Riemann, que nous chercherons à exposer comme il suit, car cela est nécessaire pour compléter la démonstration que l’évanouissement de A avec d est aussi la
