SUR
L’ÉVANOUISSEMENT DES FONCTIONS THÊTA.
Œuvres mathématiques de Riemann, 2e édition, page 212. La seconde Partie de mon Mémoire sur la Théorie des fonctions abéliennes, parue dans le Journal de Crelle, contient la démonstration d’un théorème sur l’évanouissement des fonctions thêta, sur laquelle je me propose de revenir, en supposant connues les méthodes employées dans ce Mémoire. Ce qui suit ici n’est qu’une courte exposition des applications de ce théorème, qui, dans notre méthode fondée sur la détermination des fonctions à l’aide de leurs discontinuités et. de leurs infinis, doit, comme cela se reconnaît aisément, être le principe de base de la théorie des fonctions abéliennes. Quant au théorème lui-même, et à sa démonstration, l’on n’y avait pas rendu compte de cette circonstance que la fonction thêta peut s’évanouir identiquement par la substitution des intégrales de fonctions algébriques d’une variable, c’est-à-dire pour chaque valeur de ces variables. Remplir cette lacune est le but de l’opuscule suivant (Q. Dans les recherches où l’on emploie la représentation des fonctions Sr à nombre indéterminé de variables, le besoin se fait sentir d’une abréviation d’écriture pour une suite telle que Ci* P21 • * ■ »
l’expression de pv se compliquant de v.
(1 ) Pour le théorème et sa démonstration, voir § XXIII et suivants du Mémoire Sur les Fonctions abéliennes. — (L. L. )
