priétés arbitraires. Je dis arbitraires, parce que rien n’empêche, si ce n’est des difficultés d’analyse, de créer des espaces elliptiques ou hyperboliques. À cet égard, ils sont tout artificiels. Renferment-ils l’espace euclidien comme cas particulier ? Certainement, mais à la condition de s’abriter sous l’infini. Car c’est en passant à l’infiniment grand ou à l’infiniment petit qu’on donne à la sphère ou à la pseudosphère la puissance apparente de nous rendre le plan et partant la ligne droite sans lesquels elles ne seraient même pas concevables. Il y a vraiment toute chance que, dans ce long circuit, quelque précaution que l’on prenne, on admette subrepticement des postulats bien autrement hardis que celui d’Euclide. Le passage à l’infini ou la définition de l’angle valent à eux seuls, comme je l’ai déjà dit, tous les postulats de la géométrie traditionnelle.
Les géométries méteuclidiennes ne sont donc pas une généralisation, mais seulement une extension de la géométrie euclidienne. Mais aussi c’est par là que leur légitimité est garantie comme M. Poincaré l’a si bien prouvé. De plus leur portée philosophique est incontestable ; elles nous ont promenés dans un espace fantastique, sans doute ; mais peut-être de ces étranges spéculations sortira-t-il un jour la vision claire de la nécessité universelle pour toute chose d’avoir trois dimensions, ni une de plus ni une de moins.
En attendant, je ne crois pas trop risquer d’être faux prophète en prédisant que la géométrie euclidienne continuera encore pendant de longs siècles à initier le monde à la science des figures. Faut-il entendre par là qu’elle est irréprochable et qu’elle est bâtie sur le roc ? Non. Les métagéomètres l’ont suffisamment ébranlée pour que l’on revienne de cette croyance.
Dans des études ultérieures, nous chercherons à l’édifier sur un sol plus profond et plus ferme. Si nous ne réussissons pas, nous aurons du moins l’honneur de l’avoir entrepris.
