On obtient également ce nombre nuptial en prenant pour ἀρχὴ, 60, ainsi qu’il est indiqué dans la seconde partie de la phrase ; l’opération désignée par τρὶς αὐξηθεὶς et que nous venons de représenter, s’y trouve parfaitement précisée, puisque le nombre des termes de l’αὐξήσις est indiqué dans la première partie et qu’il est corrélatif de celui des séries (ἀποστάσεις) répétées.
X. La première partie de la phrase de Platon est donc une définition arithmétique du nombre parfait dont il parle ; ce que nous en avons expliqué est la définition de sa génération ; il reste celle des propriétés qui en résultent et qui le font considérer comme parfait.
Ὁμοιούντων τε καὶ ἀνομοιούντων καὶ αὐξόντων καὶ φθινόντων πάντα προσήγορα καί ῥητὰ πρὸς ἄλληλα ἀπεφήναν.
Nous avons d’abord à déterminer le sens des participes génitifs qui dépendent grammaticalement de πάντα par l’intermédiaire d’ἀπὸ exprimé dans ἀπεφήναν.
Le terme « semblables » (ὁμοίοι) est classique dans l’arithmétique grecque.
« Les nombres, plans et solides sont semblables quand leurs côtés (facteurs) sont proportionnels » (Euclide).
Mais ici nous avons ὁμοιούντων dont la signification est active.
Soit deux nombres plans semblables, qui peuvent être représentés en général par m2A, n2A. Le nombre qui les rend semblables est évidemment leur moyenne géométrique mnA, telle qu’en divisant l’un des nombres et en multipliant l’autre par cette moyenne, on arrive à des résultats identiques de part et d’autre ; tout autre nombre intermédiaire sera au contraire ἀνομοιοῦν[1].
- ↑ Cette explication résulte d’un important passage de l’Épinomide (Éd. Didot, II, 514, 32).
« Après cette science, vient celle que l’on appelle ridiculement géométrie, et qui est une assimilation (ὁμοιώσις) de nombres non semblables entre eux par nature, assimilation devenant manifeste dans les propriétés des plans. Mais ce serait une merveille surhumaine, vraiment divine, si l’on pouvait après cela concevoir les nombres de trois facteurs et de la nature des solides, devenant de même semblables de dissemblables qu’ils étaient, pas un autre art analogue à celui qui est appelé géométrie par ceux qui s’en occupent. »
L’auteur y veut dire qu’en géométrie plane, en représentant les nombres par des surfaces (rectangulaires), on peut toujours rendre semblables deux nombres quelconques ; on peut, en effet, toujours construite un rectangle équivalent à une surface donnée et semblable à un rectangle donné. Ce problème revient à trouver une moyenne proportionnelle entre deux droites, ce qu’on peut toujours faire avec la règle et le compas (problème plan), seulement cette moyenne est incommensurable, si les nombres donnés ne sont pas semblables arithmétiquement parlant.
Mais si l’on représente les nombres par des solides, pour rendre semblables de la même façon deux nombres quelconques, il faudrait intercaler entre eux
