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ment suivant la raison 2, dont il s’agit ici évidemment, en l’absence de toute désignation particulière.

Δυνάμεναι τε καὶ δυναστευόμεναι, « en puissance et en effet », indiquent les deux phases de l’αὔξησις ; formation d’un nouveau terme par duplication du précédent ; addition du nouveau terme à la somme des précédents. Cette double détermination précise le sens attaché par Platon à αὐξήσεις[1].

Τρεῖς ἀποστάσεις,τέτταπας δὲ ὅρους λαβούσαι.

Ὅρους signifie les termes de la progression, ἀποστάσεις des changements de valeurs,

Il répugne d’admettre qu’il s’agisse des trois changements de valeurs de l’un à l’autre des quatre termes que doit avoir la progression ; il y aurait là une tautologie singulière surtout après le membre de phrase qui précède. C’est bien assez d’en avoir une plus bas dans προσήγορα καὶ ῥητὰ[2].

D’ailleurs ἀποστάσεις s’entend (République, IX, vol. II, 173, 32) du changement de valeur du premier terme au dernier. Il faut donc, en même temps qu’on prend quatre termes, répéter trois fois la série et bien entendu sommer le tout.

Soit pour point de départ, pour ἀρχὴ des progressions, un nombre que nous désignerons par a.

Prenons deux termes et une série, nous avons a + 2 a

trois termes et deux séries
a + 2 a + 4 a
a + 2 a + 4 a
Enfin quatre termes et trois séries
a + 2 a + 4 a + 8 a
a + 2 a + 4 a + 8 a
a + 2 a + 4 a + 8 a

Si nous prenons pour ἀρχὴ la dyade pythagoricienne, 2, symbole des choses qui naissent (γιγνόμενων), nous obtenons ainsi les nombres 6, 28 et 90.

Les deux premiers sont les deux premiers nombres parfaits ὁλομελεῖς, le troisième est le nombre nuptial de Platon en prenant pour unité le mois de trente jours.

  1. Jamais δυνάμενη n’a pu signifier une puissance, un carré. Dans Euclide, c’est au contraire la racine carrée, commensurable ou non. C’est un participe moyen toujours transitif. La ligne peut (δύναται l’espace A (τὸ χωρίον Α).
    Au contraite δύναμις a pu être pris dans les deux sens. Dans le Théètète, (I , 115, 34), il a le sens de racine incommensurable. Dans la République livre IX (II, 173, 32), il signifie au contraire carré ; c’est la signification classique (Diophante). Voilà un exemple frappant de l’état flottant de la langue mathématique à l’époque de Platon.
  2. Cette dernière s’explique suffisamment pour « l’harmonie de la phrase et la cadence de la période. »