Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/418

408

revue philosophique

Nous avons trouvé dans les manuscrits de la Bibliothèque nationale de fréquentes allusions à la méthode de Fermat ; mais jamais nous n’avons constaté chez les contemporains une allusion à une méthode que Fermat aurait voulu cacher ; au contraire, il est toujours parlé de Fermat comme il est parlé de Descartes, c’est-à-dire comme d’un mathématicien connu et étudié. Voici deux passages choisis entre mille, qui confirmeront notre assertion : « Pour la difficulté qui regarde l’application de la méthode de M. de Fermat aux tangentes, elle me paraît la même que celle qui regarde l’application de la méthode de M. Descartes aux mêmes tangentes. Je veux dire que toute équation qui comprend la valeur de la tangente et qui peut être résolue par la méthode de M. Descartes peut être résolue par celle de M. de Fermat et pour la difficulté d’arriver à cette équation, elle est la même dans les deux cas^[1]. »

« Ce que je vous mandais, il y a quelque temps, touchant les diviseurs moyens entre deux racines, qui entre ces mêmes racines laissent les plus grands restes, n’est pas dû à la seule expérience. Voici comme je l’ai trouvé : $x^{4}+px^{3}+qxx+rx+s=o$, divisée par $x+z=o$, donne pour reste $z^{4}-pz^{3}+qz^{2}-rz+s$ et supposant ce reste égal à un plus grand, alicui maximo. Sa détermination ou sa résolution par la méthode de M. de Fermat ou de M. Hudde ou de M. Descartes, pourvu que dans les deux derniers on n’emploie point le dernier terme $s$, donnera toujours $z^{3}-{\frac {3}{4}}pzz+{\frac {1}{2}}qz-{\frac {1}{4}}=0$, dont les racines seront chacune un des diviseurs moyens, etc. »^[2].

On pourrait soutenir que Malebranche avait eu connaissance de cette méthode : mais alors pourquoi les mathématiciens du xvii^e siècle s’exprimeraient-ils tous de la même façon ?^[3] II suffit d’ouvrir le Journal des Savants et les Acta eruditorum pour voir mille allusions analogues.

D’ailleurs une comparaison attentive de la démonstration donnée par Malebranche avec les annotations du Diophante lèvera tous les doutes en montrant la solidarité de la démonstration de Malebranche avec les démonstrations de Fermat.

Après quelques théorèmes préliminaires très-faciles, Malebranche s’attache à prouver que la somme de deux puissances semblables impaires $x^{z}+y^{z}$ peut être divisée par la somme des côtés (racines) $x+y$ et par cette autre grandeur $x^{z-1}-yx^{z-2}+yxx^{z-3}-y^{3}x^{z4}+y^{4}x^{z5}$, etc., jusqu’à ce qu’on ait $y^{z}x^{z-z}$ ou $y^{z}$. Il établit ensuite que les deux diviseurs de $x^{z}+y^{z}$, $x+y$ et $x^{z}-1-yx^{z-2}$, etc., ne peuvent point avoir d’autre diviseur commun que ou $z$ ou quelque diviseur de $z$, supposé que $x$ et $y$ soient premiers entre eux. Il déduit de cette démonstration, par élimination, l’impossibilité pour deux puissances impaires d’être égales

1. Ms 25308, p. 46.
2. Ms. 25308, p. 48.
3. Il faut excepter Hughens (sic), qui d’ailleurs a mal compris la méthode de maximis et minimis. Cf. Duhamel. Essai sur la méthode de maxima et minima de Fermat. 1866.