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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/325

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LIARD. — LA LOGIQUE ALGÉBRIQUE DE BOOLE 315

4° Exprimer la proposition conditionnelle : « Si la proposition Y est vraie, la proposition X l'est aussi. » — Il suffit d'exprimer que le temps pendant lequel la proposition Y est Vraie est le temps pen- dant lequel la proposition X l'est aussi. Gela revient à dire : il y a une partie indéterminée du temps total dans lequel la proposition X est vraie. Maintenant le temps pendant lequel la proposition Y est vraie est y, et le temps pendant lequel la proposition X est vraie est x ; soit v le symbole d'un temps indéterminé, vx représentera une partie indéterminée du temps x. Nous avons donc :

y = vx.

5° Exprimer une proposition à la fois conditionnelle et disjonctive. Il faut distinguer trois cas : 1° Si X ou Y est vrai, Z est vrai ; 2° Si X est vrai, Y ou Z est vrai ;

3° Si X ou Y est vrai, Z et W sont vrais ou faux ensemble. D'après les principes posés plus haut, nous avons comme expres- sions symboliques de ces trois cas :

1° x (1-y) -h [l-x) y = vz,

2o x = v | y (1-z) + z (1-y) J,

3° x (1-y) 4- y (i-x) = v | zw -+- (1-z) (1-w) J.

On voit par ce qui précède que la combinaison des symboles lo- giques, qu'ils expriment des propositions primaires ou des proposi- tions secondaires, est toujours soumise aux mômes lois formelles; il n'y a, d'un cas à l'autre, qu'une différence d'interprétation. Ainsi les règles des procédés fondamentaux d'expansion et d'élimination sont les mêmes dans les deux cas.

Mettons la méthode à l'épreuve sur un exemple assez complexe.

On trouve dans le deuxième livre de la République de Platon l'ar- gument suivant en faveur de l'immutabilité divine : « Lorsqu'un être quitte sa forme naturelle, n'est- il pas nécessaire que ce changement vienne de lui ou d'un autre? — Oui. — Mais les choses les mieux constituées sont aussi les moins sujettes au changement de la part des causes étrangères : par exemple, les corps les plus sains et les plus robustes sont les moins affectés par la nourriture et le travail. Il en est ainsi des plantes par rapport aux vents, à l'ardeur du soleil et aux outrages des saisons. — Gela est certain. — L'âme n'est-elle pas aussi d'autant moins troublée et altérée par les accidents extérieurs qu'elle est plus courageuse et plus sage ? — Oui. — Pour la même raison, les ouvrages de main d'homme, les édifices, les vêtements résistent au temps et à tout ce qui peut les détruire, à proportion

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