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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/321

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LIARD. — LA LOGIQUE ALGÉBRIQUE DE BOOLE 311

où tj, # 2 ,... tnsont constituants des autres symboles, et a t , a .,,... a n , des quantités positives ou nulles. Le résultat de l'élimination est

\\ V 2 =0;

et comme aucun des coefficients de V 4 et de V 2 n'est négatif, il ne peut y avoir de coefficients négatifs dans le produit VjV,. Par suite, l'équation V^, =0peut être ajoutée à toute autre équation dont les coefficiens sont positifs, et l'équation qui en résultera comprendra la signification entière de celles dont elle sera formée.

Il reste à rechercher quelles équations logiques rentrent dans les cas que nous venons de distinguer. Nous connaissons les principaux types de propositions : 1° Celles dont le sujet est universel et le prédicat particulier,

X = vY,

X et Y satisfaisant à la loi de dualité. Eliminant v nous avons

X(1-Y) = 0. [11

qui satisfait à la même loi. Il n'est donc pas nécessaire, pour réduire ces propositions, deles élever au carré. 2° Celles dont les deux termes sont universels :

X = Y,

X et Y satisfaisant séparément à la loi de dualité. Ecrivant l'équation sous la forme X — Y = 0, et l'élevant au carré, nous avons :

X — 2XY H- Y = 0, ou X (1-Y) + Y (l-X) = [2]

dont le premier membre satisfait à la loi de dualité. 3° Celles dont les deux termes sont particuliers :

vX = vY.

Ici v n'est pas arbitraire, et ne peut par suite être éliminé ; il re- présente en effet quelques. Nous devons donc faire passer le second membre dans le premier, et élever au carré l'équation résultant..

vX (1-Y) -f uY(l-X> = 0.

Concentrons dans une règle unique ces résultats divers : « Les équations ayant été exprimées de façon à ce que les termes X et Y des formes typiques obéissent à la loi de dualité, changer les équations :

X = vY en X (t-Y) = 0, X = Y en X (i-Y) + Y (l-X) = 0, vX = vY en uX (1-Y) 4- vY (l-X) = 0.

Toute équation donnée sous la forme X = n'a pas besoin d'être

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