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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/319

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LIARD. — LA LOGIQUE ALGÉBRIQUE DE BOOLE 309

00 Donc w = -. = - s,

1 — s

ce qui signifie : toute richesse est limitée en quantité ' .

De même façon, on éliminerait tels autres symboles de l'équation donnée.

��VII

Rédaction d'un système de propositions à une équation.

La méthode générale d'élimination dont nous venons d'exposer les principes et les règles, n'est applicable* qu'à une seule équation, c'est-à-dire à une seule prémisse. En fait les prémisses d'un rai- sonnement déductif sont le plus souvent au nombre de deux; en droit, rien n'empêche que le nombre en soit illimité. La question qui se pose maintenant est celle de savoir s'il est possible, dans un système de prémisses formé d'un nombre quelconque d'équations, d'éliminer un nombre quelconque de symboles, ce qui revient à se demander s'il est possible de réduire un système quelconque d'équations logiques à une équation 'unique équivalente, à laquelle les méthodes que nous venons de décrire soient applicables.]

Cette réduction peut être opérée par la méthode suivante :j

1 er cas. — Si V 4 = 0, Vj = sont des équations telles] que l'expan- sion de leurs premiers membres contienne seulement des consti- tuants affectés de coefficients positifs, ces équations peuvent être unies ensemble par addition en une équation unique équivalente. |

En effet, si kt représente un terme du développement de la fonc- tion V 4 , Bt le terme correspondant du développement de V, et ainsi de suite, le terme correspondant dans le développement de l'équa- tion

V, + V s + etc. = 0, [l]

formée par l'addition des équations données sera :

(A -+- B etc.) t.

Mais, comme par hypothèse, aucun des coefficients A, B, etc., n'est négatif, le coefficient total A -f- B -|- etc., dans l'équation dérivée, s'évanouira seulement quand les coefficients distincts A, B, etc., s'évanouiront ensemble^ Par conséquent tous les constituants des

1. Dans tous les calculs qui précèdent, il faut toujours avoir présente à l'esprit la loi fondamentale des symboles logiques, susceptibles seulement des valeurs numériques 1 et 0, x*=x.

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