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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/315

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LIARD. — LA LOGIQUE ALGÉBRIQUE DE BOOLE 305

VI

De l'Élimination.

Dans les inférences considérées jusqu'ici, tous les éléments de la prémisse reparaissaient dans la conclusion ; il n'y a de changé, de l'une à l'autre, que l'ordre et les connexions de ces éléments. Mais ce n'est pas là le seul type du raisonnement déductif. Souvent la question à résoudre se présente sous la forme suivante : Étant données plusieurs prémisses, en extraire une relation entre tels et tels éléments déterminés. Dans ce cas, tous les éléments des pré- misses ne reparaissent pas dans la conclusion ; certains d'entre eux» les moyens termes, dont la fonction est de manifester la relation demandée, en sont éliminés. Il faut donc chercher un procédé général d'élimination d'un nombre quelconque de moyens termes dans un système composé d'un nombre quelconque de prémisses données sous forme d'équations. Soit une équation logique / (x) = 0. Développant le premier membre, nous avons :

f(\)x + f(0)(\-x) = 0,

ou \f(i)-f<f»\x + rv>)=o. m

donc: *= m '- m - 9 et lx - ••/(«>

Substituons ces expressions à a? et à 1 — x dans l'équation fonda- mentale x (1 — x) = 0,

nous avons j /(0) -. r(I) |> =°« 

ou f{l)f{0) = [2]

On voit que, par ce procédé, l'élimination a lieu réellement entre l'équation donnée f (x) = 0, et l'équation universellement vraie,- x (1 — x) = 0, expression de la loi fondamentale des symboles logiques. Il n'est donc besoin, pour rendre possible l'élimination d'un terme, que d'une seule prémisse ou équation ; la loi nécessaire de la pensée supplée virtuellement à l'autre prémisse ou équation.

On peut encore procéder de la façon suivante. Soit comme ci-dessus l'équation,

fi\)x + f(0)([-x) = 0.

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