Ouvrir le menu principal

Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/305

Cette page n’a pas encore été corrigée


LIARD. — LA LOGIQUE ALGÉBRIQUE DE BOOLE 295

on peut, quelle que soit la propriété représentée par z, conclure :

zx = zy,

équivalent formel de la loi algébrique en vertu de laquelle les deux membres d'une équation demeurent égaux, quand ils sont multipliés chacun par une même quantité.

Mais la comparaison de ces deux systèmes symboliques nous montre aussi qu'entre eux la correspondance n'est pas complète, ou, si l'on aime mieux, que chacun d'eux a des propriétés spécifi- ques distinctes.

Ainsi, en algèbre de : zy = zy, on conclut x = y .

En logique, nous ne rencontrons pas d'équivalent formel de cette loi. Si les membres d'une classe x qui possèdent une certaine pro- priété z sont identiques avec ceux d'une classe y qui possèdent la même propriété z, il ne suit pas de là que tous les membres de la classe x soient identiques avec ceux de la classe y. En d'autres termes, on ne peut de zx = zy conclure en logique x = y.

Il y a plus : nous avons vu que tous les symboles logiques sont soumis sans exception à la loi primitive et irréductible de dualité.

Cette loi est propre à la logique, et n'a pas d'application générale en algèbre. Deux symboles numériques seulement, 1 et 0, y satisfont .

2 = i 1 = i.

En algèbre, l'équation x 2 = x n'a d'autres racines que et 1.

Par conséquent, il n'y a pas coïncidence totale de l'algèbre logique et de l'algèbre numérique. Pour l'établir, il faudrait faire violence à l'algèbre ordinaire, et supposer que les symboles de quantité admet- tent seulement les valeurs et 1. Dans ce cas, les deux systèmes auraient mêmes lois, mêmes axiomes et mêmes procédés ' ; ils ne différeraient que par l'interprétation.

��IV

Expansion des fonctions.

Nous connaissons les lois fondamentales des opérations de l'es- prit; nous les avons exprimées en symboles. Maintenant comment doit procéder le calcul logique?

1. Cette remarque est de la plus haute importance pour l'intelligence du système de Boole. Comme nous le verrons bientôt, elle est la clef de son calcul logique.

�� �