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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/303

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LIARD. — LA LOGIQUE ALGÉBRIQUE DE BOOLE 293

de ces parties seront formées séparément, et unies par le signe + ; si la collection est définie par l'exclusion de certaines parties, les parties exclues seront précédées du signe — .

Dans les propositions disjonctives, « les choses qui sont as ou y », on aura deux symboles, équivalents des choses qui sont x et non-y, et des choses qui sont y et non-x.

x (1-y) -+- y {i-x).

Si as et y peuvent coexister, on aura

xy + x (1-y) + y (loc),

expression de toutes les alternatives possibles dans le cas donné. Ainsi l'expression totale de la triple alternative ou x, ou y ou z est

x (1-y) (1-z) + y (1-*) (1-z) + z (i-x) (1-y),

quand les classes désignées par a;, y et z sont mutuellement exclu- sives, et

x -f- y {i-x) + z [i-x) (1-y),

quand elles ne sont pas exclusives.

Gela posé, comment exprimer les propositions primaires?

Distinguons différents cas.

1 Le sujet et le prédicat sont tous les deux universels.

Dans ce cas, il faut former séparément l'expression de chacun d'eux et les unir par le signe =.

2° Le prédicat est particulier. Ex. : tous les hommes sont mortels (quelques mortels).

Un symbole spécial de la particularité est ici nécessaire. Soit v le symbole d'une classe indéterminée en tout, si ce n'est en ce que quel- ques-uns de ses membres sont X; nous aurons :

y = vx.

La règle d'expression de ces propositions sera donc d'exprimer le sujet et le prédicat comme précédemment, d'attacher au prédicat le symbole indéterminé v, et de mettre les deux expressions en équa- tion.

De même, si la proposition est disjonctive, on aura :

x = v\y (l-z) + z (1-y |.

3° Négatives universelles : aucun y n'est x. — Convertir la propo- sition dans la forme équivalente : Tout x est quelque non-y, et pro- céder comme précédemment; d'où :

x = v (1-y).

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