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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/301

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LIARD. — LA LOGIQUE ALGÉBRIQUE DE BOOLE 291

Supposons maintenant que x et y aient exactement la même signi- fication; leur combinaison n'exprimera rien de plus que ce qu'ex- prime l'un des symboles pris à part. Si, par exemple, d'un groupe d'êtres nous extrayons tous les X, et que nous répétions la même opération sur la classe ainsi obtenue, nous obtiendrons encore la même classe, sans profit ni perte; dire « homme, homme, » « bon, bon, » c'est la même chose que de dire « homme, » « bon. » De là, ces formules qui jouent dans le système un rôle capital :

ou x 2 = x [2]

Outre les opérations ci-dessus décrites, il en est par lesquelles nous réunissons en un tout des parties différentes, et divisons un tout en parties. Ainsi nous disons : « Les Anglais et les Français, » « les Français ou les Anglais, » « les Européens, à l'exception des Anglais, » etc. Ce sont là deux opérations inverses. La première sera marquée par le signe -)-» la seconde, par la signe — :

x -+- y; x — y.

Il est aisé de voir que dans la formule x -f- y, l'ordre de distribu- tion des symboles réunis par le signe -f- est indifférent. Puisque x -\- y désigne une totalité composée de tous les individus contenus dans la classe y, peu importe que nous écrivions x -f- y ou y -\- x; dans les deux cas, le résultat est le même. Les symboles logiques sont donc doués de la propriété distributive :

x -f- y = y + x [3] ou encore : z (x + y) = zx + zy [4] ;

ce qui est attaché à tous les membres d'un tout l'est à chaque membre en particulier, de quelque manière que ces membres soient distribués. — Cette propriété, dérive assurément de la nature même de l'opération symbolisée. Étant donné un groupe d'objets, considéré comme un tout, il est indifférent" d'en extraire la classe z, par exemple, ou de diviser le groupe en deux parties, d'extraire de chacun d'eux tous les z, et de réunir ces résultats en un même agrégat.

maticiens, xy signifie que x est multiplié par y. Il serait absurde d'inter- préter en ce sens l'expression logique xy. Mais, nous l'avons^u, les propriétés des formules analytiques ne dépendent pas de l'interprétation qu'elles peu- vent recevoir, mais uniquement des lois de la combinaison des symboles qu'elles contiennent. Aussi, bien que la multiplication algébrique dont xy = yx est la loi fondamentale, n'ait eu elle-même aucune analogie avec le procédé de combinaison logique représenté par xy, Boole a été en droit de dire si les procédés arithmétique et logique sont exprimés de la même manière, leurs expressions symboliques sont soumises à la même loi formelle.

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