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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/300

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conceptions enveloppant les mêmes éléments ; enfin le signe de l’identité, =.

Les signes 1 et 0 ont dans le système une fonction nettement définie, 1 signifie tout, 0 signifie rien. 1 , c’est la classe qui comprend tous les êtres possibles; 0, c’est, si l’on peut ainsi parler, la classe qui comprend tout ce qui n’existe pas. Soit maintenant à former une certaine classe comprenant tous les individus qui possèdent un certain caractère commun, x ; c’est, en dernière analyse, extraire de la totalité des êtres tous ceux qui possèdent le caractère donné ; on l’exprimera symboliquement

1x

et, comme toute classe ainsi formée est, en fait, une certaine province définie de la totalité des choses, on peut sous-entendre, dans l’expression qui la désigne, le symbole de la totalité, et l’exprimer simplement par ce. De même, une autre classe sera désignée par y, une troisième par z, et ainsi de suite.

Soit maintenant à former une notion complexe telle que « moutons blancs cornus. » — C’est choisir dans la totalité des êtres tous les moutons, puis, dans la totalité des moutons, tous ceux qui sont blancs, et enfin, dans la totalité des moutons blancs, tous ceux qui sont cornus. Si le résultat de la première opération est la constitution de la classe 1 ce ou ce, celui de la seconde sera xy; celui de la troisième , xyz. xyz désigne ainsi la classe comprenant tous les individus qui possèdent simultanément les attributs de la classe ce, de la classe y et de la classe z.

Considérons cette formule et les opérations mentales qu’elle désigne, et nous reconnaîtrons de suite que l’ordre des symboles y est indifférent. En effet, que l’on forme d’abord la classe des moutons, pour en extraire ensuite tous les moutons blancs, et de cette nouvelle classe, tous les moutons cornus, que l’on forme d’abord la classe des êtres blancs, pour en extraire ensuite les moutons cornus, ou que l’on forme d’abord la classe des êtres cornus, pour en extraire les moutons blancs, le résultat de cette triple opération sera toujours le même.

Les symboles logiques ont donc ce que les mathématiciens appellent la propriété commutative, que nous exprimerons par la formule suivante :

xy = yx [l] 1

1. On serait peut-être tenté de se méprendre sur le sens des symboles logiques xy, xyz, etc., car il est malaisé de s’élever au degré d’abstraction nécessaire à l’intelligence du système de Boole. Dans l’algèbre des mathé-