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parcourant une autre variété à une dimension, vienne en un point $P_{3}$, le premier point $M$ sera transporté en un autre point d’une variété à trois dimensions, déterminé par $OP_{1},OP_{2},OP_{3}$. En général, un point d’une variété à $n$ dimensions sera déterminé par $n$ quanta linéaires ou $n$ coordonnées, et la détermination des lieux sera ramenée à des déterminations de grandeurs à une dimension.

Quel que soit d’ailleurs le nombre de leurs dimensions, les grandeurs continues se distinguent suivant que ces dimensions sont mesurables ou non. La mesure consiste dans une superposition des grandeurs à comparer ; il faut donc pour qu’elle soit possible, qu’une grandeur étalon soit transportable et qu’elle ne s’altère pas par le fait même du transport^[1]. Si la mesure est impossible, on ne peut plus comparer les grandeurs numériquement, mais on peut encore parfois décider la question du plus grand ou du plus petit. Riemann cite des exemples mathématiques de l’importance de la considération de telles grandeurs non mesurables.

Ainsi la possibilité de la mesure exige l’indépendance entre les grandeurs et les lieux. Mais les grandeurs continues à $n$ dimensions mesurables se distinguent à leur tour suivant que la mesure des $n$ dimensions est effectivement possible ou non avec la même unité. Ainsi on a dit souvent que le temps était la quatrième dimension de l’espace ; il est clair que la grandeur à quatre dimensions ainsi formée appartiendrait à une toute autre classe que notre espace.

De la possibilité de la mesure des $n$ dimensions avec une même unité, résulte pour le concept de la grandeur tel qu’il a été construit que les $n$ coordonnées $OP_{1},OP_{2},OP_{3},$, etc., d’un point $A$ quelconque, pourront d’une part être comparées l’une à l’autre par superposition, de sorte que ces lignes seront homogènes entre elles ; d’autre part elles pourront être représentées numériquement par des valeurs $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{n}$.

Nous dirons que ces valeurs numériques mesurent respectivement la distance à l’origine des points $P_{1},P_{2},\ldots P_{n}$ ; et qu’en général la distance de deux points quelconques sur une des variétés à une dimension qui ont servi à la construction du concept de la variété à $n$ dimensions, se mesurera en valeur absolue par la différence des coordonnées de ces points. Mais dans cette variété à $n$ dimensions homogènes entre elles, on peut concevoir qu’à partir de l’origine, on suive non pas une des $n$ directions correspondantes aux coordonnées, mais une infinité d’autres, et qu’on le fasse en parcourant une variété

1. Nous avons fait remarquer que sur une surface à courbure variable, une figure ne peut être en général déplacée sans que ses côtés et ses angles s’altèrent par là même.