Ce n’est nullement une digression que nous venons de faire ; nous avons développé le premier terme d’une comparaison nécessaire pour bien comprendre les résultats du travail de Beltrami.
Ainsi, sous certaines conditions que nous avons définies, un être superficiel vivant sur une surface développable constituerait une géométrie plane qui serait identique à la nôtre, avec le postulatum d’Euclide que par un point on peut mener à une ligne géodésique i une parallèle et une seule.
Il existe des surfaces de révolution dont la courbure est positive et constante ; ces surfaces sont engendrées par la révolution de courbes de la forme ABA’B' autour d’un axe situé vers le haut de la figure.
���Fig. 1.
Sous les mêmes conditions que précédemment et notamment sous celle de ne pouvoir se déplacer que dans une portion limitée de son espace, un être superficiel, vivant sur de telles surfaces, constituerait une géométrie qui serait identique à la nôtre pour les figures sphériques. Le postulatum correspondant à celui d’Euclide pour le" plan, serait que par un point on ne peut mener aucune parallèle à une ligne géodésique, deux lignes géodésiques se rencontrant toujours nécessairement, si on les prolonge suffisamment.
Il existe de même des surfaces de révolution dont la courbure est négative et constante ; elles sont de deux sortes, suivant qu’elles sont engendrées par des courbes de la forme ABA’B' (fig. 4) ou de la forme USV (fig. 2) tournant autour de l’axe XY 2.
1. Ligne minima entre deux quelconques de ses points sur la surface.
2. Les branches illimitées de la courbe USV se rapprochent indéfiniment de l’axe XY sans jamais l’atteindre ; si l’on mène une tangente à cette courbe, la portion interceptée entre le point de contact et l’axe a une longueur constante.
