de théorèmes de pure algèbre de la plus grande généralité et de la plus haute importance. Nous nous proposions uniquement de faire sentir comment, quand on parle de quantités imaginaires, il n’y a jamais là une sorte de non-être soumis au calcul, mais seulement des quantités bien réelles entre lesquelles on a établi une relation logique artificielle.
La géométrie de Lobatchewsky[1] diffère essentiellement de toutes les théories dont nous avons parlé jusqu’à présent. Son objet est de reconstituer entièrement la science de l’espace après avoir rejeté la célèbre proposition généralement connue en France sous le nom de postulatum d’Euclide, et y avoir substitué une hypothèse qui comprend celle d’Euclide, comme cas singulier.
FIGURE MANQUANTE
Soit une droite BC, en un point D de laquelle j’élève la perpendiculaire DA de longueur déterminée a; par A je mène la perpendiculaire EAF à DA dans le plan ABDC ; Euclide démontre que EF ne rencontre pas BC, il admet que c’est la seule droite menée par A qui soit dans ce cas, et on l’appelle, d’après lui, parallèle à BG.
Lobatchewsky admet, au contraire, que par le point A, on peut mener, outre EF, une infinité de droites du plan qui ne rencontrent pas BC; toutes ces droites sont comprises dans les angles aigus formés pour deux droites GH, IK, symétriques par rapport à EF. La droite GH sépare les droites qui rencontrent BC du côté de G de celles qui ne la rencontrent pas, la droite KI sépare les droites qui rencontrent BG du côté B de celles qui ne la rencontrent pas. Lobatchewsky appelle parallèles à BG ces deux droites limites GH, IK.
- ↑ Études géométriques sur la théorie des parallèles, par N. J. Lobatchewsky, traduit par J. Hoûel, suivi d’un extrait de la correspondance de Gauss et de Schumacher. Paris. Gaulhier-Villars, 1866.
