général, irrationnelles. Il y a, à cet égard, dans l’algèbre de M. Bertrand, des remarques extrêmement judicieuses, et si l’on peut parfois être d’un avis différent du sien, il est, d’un autre côté, impossible de ne pas réfléchir sur les difficultés qu’il soulève.
La division conduit aux fractions. La fraction algébrique est très-difficile à interpréter en elle-même. Encore une fois, c’est un symbole qui n’a de signification que pour autant que l’on remonte aux données du problème, et qu’on les suive à travers les transformations des formules.
Les fractions étant de nouvelles quantités, on doit reprendre, pour elles, la théorie de toutes les opérations, y compris celle de la division.
Ici se place une remarque analogue à celle qui a été faite à propos des quantités négatives : c’est que ces diverses opérations répétées autant qu’on veut, n’importe dans quel ordre, n’engendrent pas de quantités d’une espèce nouvelle ; le résultat final est toujours une quantité, fractionnaire ou non-fractionnaire, positive ou négative.
Élévation aux puissances. Il faut aussi soumettre au principe de l’élévation aux puissances les quantités négatives et fractionnaires. Les opérations inverses donnent naissance aux quantités irrationnelles et imaginaires[1], c’est-à-dire à de nouvelles combinaisons de signes dont le sens doit être déterminé avec soin pour chaque cas particulier qui les amène[2]. En un mot, il faut remonter chaque fois à leur origine.
Faisons enfin cette troisième remarque, dont la portée est la même que celle des précédentes. C’est que les combinaisons des quantités négatives, irrationnelles, imaginaires, engendrent, non des quantités d’un ordre nouveau, mais toujours des quantités à symboles connus.
Ici se termine la partie de l’algèbre où sont exposés les principes généraux de cette science. La seconde partie, celle où l’on traite des équations et de leur solution, peut se définir la théorie des applications de l’algèbre. Comme on le voit, ces principes généraux repo-
- ↑ Il y a beaucoup de façons pour une quantité d’être irrationnelle ou imaginaire. Le vocabulaire algébrique devrait, sous ce rapport, s’enrichir.
- ↑ Ainsi, pour moi, il n’est pas douteux que √ — 1 est un signe analogue à ceux de + et de — ; et que l’on peut en dire tout autant de l’expression cos φ ± √ — 1 sin φ.
