qu’il s’en présente d’inattendus, il faut recommencer avec eux la série des opérations déjà trouvées pour voir si elles ne donneront pas occasion à de nouvelles règles, et si les anciennes règles leur sont d’une application valable. C’est ainsi que je dois examiner comment on additionne et l’on soustrait des nombres négatifs, des produits, des fractions, des puissances, des racines, des exposants, etc. ; comment l’on multiplie et l’on divise les puissances, etc. C’est ainsi, c’est-à-dire en résolvant des problèmes qui s’imposent naturellement, que je découvre des théorèmes tels que ceux-ci : pour multiplier les puissances d’un même nombre on ajoute les exposants ; pour les diviser on soustrait les exposants, etc. Ces théorèmes à leur tour engendrent de nouveaux symboles imprévus, par exemple, les exposants négatifs, nuls et fractionnaires. Et c’est dans l’interprétation de ces symboles bizarres, résultant de combinaisons en apparence parfaitement légitimes, que le mathématicien doit avoir grand soin de ne pas se laisser égarer.
La science arithmétique se développe ainsi à la façon d’un arbre dont chaque branche donne naissance à plusieurs branches qui à leur tour se divisent et se ramifient à l’infini, et c’est ainsi que l’on peut dire en fin de compte qu’elle donne les moyens de composer les nombres (Voir plus haut la définition de l’arithmétique donnée par M. Cirodde).
Une question serait ici à examiner : à quoi sert l’arithmétique ? On peut se poser une question semblable à propos de l’algèbre ; elles reviendront plus tard, quand nous nous demanderons quelle est l’utilité de la logique. Pour le moment nous allons étudier rapidement le symbolisme de l’algèbre.
IV. — Prolégomènes philosophiques de l’algèbre
L’algèbre est la science des quantités. La quantité est un nombre dont l’unité est indéterminée. En d’autres termes, la quantité est divisible en des unités indéfiniment diverses, c’est là l’hypothèse fondamentale de l’algèbre. Par conséquent l’algèbre s’interprète toujours par l’intermédiaire de l’arithmétique, bien qu’elle soit au dessus de l’arithmétique.
Passons rapidement en revue les opérations directes de l’algèbre.
Composition des quantités. — Addition, a + b + c +… = a + b + c +…
