trouver leurs propriétés, saisir la loi de leur génération. Il est aisé de concevoir que le problème serait plus simple, si l’on pouvait ramener ces figures à des lignes droites.
Prenons pour exemple la plus simple des figures curvilignes, le cercle, et pour aider la raison par les sens, d’un point quelconque pris comme centre, avec une ouverture de compas quelconque, traçons sur le papier une circonférence. Supposons qu’on veuille résoudre divers problèmes touchant cette figure, par exemple mesurer sa surface ou connaître le rapport de sa circonférence avec son rayon. Et cela, non pas d’une manière mécanique, ce qui n’aboutirait à aucun résultat intéressant, mais d’une manière scientifique, de telle sorte que l’on sache en général quelle est la surface d’un cercle et quel est le rapport précis de la circonférence au rayon pour tous les cercles possibles.
Ces problèmes ont leurs difficultés. Que serait-ce, si au lieu du cercle il s’agissait d’une courbe moins simple, comme la parabole, l’hyperbole et d’autres, de plus en plus compliquées ? Mais ne parlons que du cercle, et cherchons, non pas à résoudre les questions posées, mais à les simplifier en les transformant.
Inscrivons dans notre cercle un polygone régulier, d’un nombre quelconque de côtés, six par exemple. Voilà une figure qui donne naissance à des problèmes analogues aux précédens ; au lieu de la circonférence de notre cercle, considérez le périmètre de notre polygone ; au lieu du rayon du cercle, considérez l’apothème du polygone, c’est-à-dire la perpendiculaire abaissée du centre sur l’un quelconque de ses côtés, vous pouvez vous demander quelle est la surface du polygone, quel est le rapport du périmètre à l’apothème. Ce sont les mêmes problèmes de tout à l’heure, mais ils sont infiniment plus aisés. Rien de plus simple que la loi de génération d’un polygone régulier, rien de plus facile par exemple que de mesurer sa surface, et de démontrer qu’elle est égale à la demi-somme de ses côtés multipliée par l’apothème. Si donc l’on pouvait ramener le problème du cercle au problème du polygone, on aurait beaucoup avancé la question.
Concevez maintenant que le polygone inscrit, au lieu d’avoir six côtés, en eût douze, vingt-quatre, quarante huit ; cherchez ce qui en arriverait. Évidemment ce polygone se rapprocherait de plus en plus du cercle. Et si vous imaginez des polygones dont les côtés aillent ainsi toujours croissant, vous voyez clairement que plus le nombre des côtés augmente, plus le polygone tend à s’identifier avec le cercle. Or ne pouvez-vous pas concevoir cette multiplication des côtés de notre polygone aussi grande qu’il vous plaira ? Quelque nombre qu’on assigne, dût ce nombre surpasser toutes les forces de
