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Deux cas peuvent se présenter, suivant les conditions initiales du mouvement, qui déterminent la position du plan Π par rapport à la circonférence, c’est-à-dire aux points P et P’. Le plan Π se trouve évidemment au-dessus de P’, sans quoi il n’y aurait pas de mouvement. Mais il peut se trouver, soit entre P et P’, soit au-dessus de P. Dans le premier cas, la droite XY rencontre la circonférence en deux points A, A’, où la vitesse du point M s’annule. Chaque fois que le point M arrive en l’un de ces points A, tout se passe comme s’il était abandonné en ce point sans vitesse initiale ; il retombe donc, et parcourt la partie inférieure de la circonférence jusqu’à ce que sa vitesse s’annule de nouveau, c’est-à-dire jusqu’à l’autre point A’. Ainsi le pendule oscille indéfiniment entre ces deux points A et A’ : toutes ses oscillations sont égales en durée comme en amplitude, et identiques les unes aux autres, le point mobile repassant aux mêmes points avec la même vitesse. Son mouvement est donc périodique, et la période comprend la durée d’une oscillation double ou de deux oscillations simples, de A en A’ et de A’ en A.

cipe de la conservation de l’énergie. Soit m la masse du point M, v sa vitesse ; sa force vive sera :

$\scriptstyle {\frac {mv^{2}}{2}}$

D’autre part, son potentiel sera à chaque instant égal et de signe contraire au travail effectué par la force qui agit sur lui, qui est la pesanteur. Ce travail est égal au produit du poids du mobile par la hauteur verticale qu’il a parcourue :

P h.

Or le poids est une force égale au produit de la masse du mobile par l’accélération due à la pesanteur :

Le travail est donc : mgh et le potentiel : – mgh. Écrivons que l’énergie totale est constante :

$\scriptstyle {\frac {mv^{2}}{2}}\;-\;mgh={\text{C}}^{\text{te}}$ ou : $\scriptstyle {\frac {mv^{2}}{2}}=mgh+{\text{C}}^{\text{te}}$

Pour simplifier, nous annulerons la constante en comptant la hauteur h à partir du plan horizontal Π où la vitesse est nulle, de sorte que v et h s’annulent en même temps. On a donc finalement l’équation :

$\scriptstyle {\frac {mv^{2}}{2}}=mgh$ ou : $\scriptstyle v^{2}=2gh$

On détermine le plan Π, connaissant la vitesse initiale v₀ et la position initiale du point M. En effet, l’équation précédente s’applique à cette position comme aux autres, et l’on a :

$\scriptstyle {v_{0}}^{2}=2gh_{0}$ d’où : $\scriptstyle h_{0}={\frac {{v_{0}}^{2}}{2g}}$


h₀ est la hauteur du plan Π au-dessus de la position initiale de M.

Cas particulier : si la vitesse initiale est nulle :

$\scriptstyle v_{0}=0$

On a aussi :

$\scriptstyle h_{0}=0$

C’est-à-dire que le plan Π passe par la position initiale du point M.

On remarquera que l’équation ainsi obtenue est indépendante de la forme de la courbe suivie par le mobile ; aussi est-elle la même que pour la chute libre dans le vide.