7. Une proposition bien connue de géométrie élémentaire nous apprend que si les trois côtés d’un triangle rectangle sont évalués en nombres au moyen d’une unité commune, le carré du nombre qui mesure l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des nombres qui mesurent les deux côtés de l’angle droit. La proposition, ainsi formulée, semble ne pouvoir viser que des nombres actuels : le plus habile physicien, disposant des meilleurs instruments, et mesurant avec toute la précision possible les trois côtés de notre triangle, n’en trouvera effectivement jamais d’autres pour en exprimer les longueurs. Pourtant, si tel est bien le sens de l’énoncé, la proposition tombe en défaut dans mainte circonstance : en supposant, par exemple, les deux côtés de l’angle droit respectivement égaux à l’unité de longueur et au double de cette unité, le nombre actuel qui mesure l’hypoténuse devrait avoir pour carré 1 + 4 ou 5, ce qui est impossible. Il y a là une contradiction apparente qu’il importe de faire cesser ; mais nous devons, pour y parvenir, examiner préalablement deux questions.
8. Traduction en segments rectilignes des valeurs fractionnaires, qualifiées et infinitésimales.
La première idée qui vient à l’esprit, pour traduire à l’aide d’un segment rectiligne une expression fractionnaire { n, d }, c’est d’imaginer une demi-droite de longueur indéfinie, sur laquelle on suppose portés bout à bout, à partir de l’origine, n segments égaux à la dme partie de l’unité de longueur. En exécutant physiquement l’opération dont il s’agit sur un certain nombre d’expressions fractionnaires, on constate que des expressions équivalentes donnent toujours le même segment rectiligne ; mais il est bien des cas où la possibilité même de cette exécution n’est plus concevable, car, pour une valeur de d suffisamment grande, la dme partie de l’unité de longueur semble se réduire à un point, c’est-à-dire à une portion d’étendue presque imperceptible.
D’autres procédés sont plus fréquemment praticables : ainsi, en désignant par f une fraction donnée, et par fm la plus grande fraction de dénominateur m qui ne lui soit pas supérieure, la différence f – fm est inférieure à { 1, m }, et l’on peut convenir de représenter f à l’aide du segment rectiligne qui correspond à une valeur actuelle, suffisamment éloignée, de la variante fractionnaire fm.
Dans les limites où ces procédés et autres du même genre sont physiquement exécutables, l’expérience nous permet de constater :
