opposée à elle-même. L’addition et la mulliplication des valeurs qualifiées se définissent par des règles conventionnelles, dans le détail desquelles il est inutile que nous entrions ; la soustraction et la division sont les opérations respectivement inverses des précédentes. Enfin, la valeur qualifiée a, distincte de b, lui est dite supérieure ou inférieure, suivant que la différence a – b est positive ou négative : on démontre sans peine que si une première valeur qualifiée est supérieure à une seconde, et celle-ci supérieure à une troisième, la première est supérieure à la troisième.
On peut assigner aux quantités qualifiées une origine analogue à celle des fractions. Effectivement, si, dans le monde des valeurs fractionnaires, il se présente souvent des soustractions impossibles, cette impossibilité éventuelle se trouve entièrement supprimée dans le monde des valeurs qualifiées, en vertu des règles conventionnelles qui président à leur calcul. D’autre part, il résulte de ces mêmes règles que si l’on a à effectuer sur des valeurs données, dans le monde des fractions, une suite quelconque d’opérations (toutes possibles), le résultat cherché peut s’obtenir à l’aide d’un artifice consistant : 1° à se transporter du monde des valeurs fractionnaires dans celui des valeurs qualifiées, et à substituer aux valeurs absolues données les valeurs positives ou neutres qui leur correspondent respectivement ; 2° à effectuer, au lieu des calculs indiqués sur les valeurs absolues primitives, les calculs parallèles sur les valeurs qualifiées qui leur ont été substituées ; 3° à prendre la valeur absolue du résultat.
Toute question ressortissant au monde des valeurs absolues peut donc se ramener à une question ressortissant au monde des valeurs qualifiées ; la plupart du temps, elle se trouve ainsi généralisée, et l’on s’assure en tous cas l’avantage de ne jamais être arrêté dans les transformations analytiques par des soustractions impossibles.
4. Nous nommerons variante qualifiée une valeur qualifiée variable dépendant de certains indices, c’est-à-dire de certains entiers indéterminés auxquels on peut attribuer tous les systèmes possibles de valeurs > 0[1].
Une variante qualifiée am, n, … dépendant des indices m, n,… est dite infiniment petite, si à toute valeur positive t on peut faire cor-
- ↑ Par exemple, le mme terme d’une progression arithmétique ou géométrique dont le premier terme et la raison sont donnés, la somme des m premiers termes de cette progression, leur produit, etc., sont autant de variantes dont chacune dépend de l’indice m. Souvent une variante dépend à la fois de plusieurs indices.
