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se joue dans son esprit un drame analogue à celui qui se produit communément dans l’esprit du romancier. Celui-ci commence par imaginer ses personnages, et il a l’impression qu’il les crée selon sa fantaisie. Puis il se propose de les faire parler et agir d’après le caractère qu’il leur a imposé. Mais voici qu’au cours du récit les personnages se détachent de l’esprit du romancier, se mettent à parler et agir à leur manière, et, à tel moment, résistent ouvertement à leur interprète et déclarent qu’ils ne diront pas telle parole que celui-ci prétend leur faire dire. Nés, en apparence, du caprice de l’auteur, ils sont, bel et bien, des êtres, existant en eux-mêmes et pour eux-mêmes.

Pareillement, les essences mathématiques, qui ont l’air de dépendre de notre imagination, sont, pour le mathématicien, qui ne les regarde pas du dehors, mais suit le détail de leur croissance, des êtres véritables, qu’il observe, bien plus qu’il ne les fabrique, et qu’il compare à l’objet d’étude du naturaliste, bien plutôt qu’aux arbitraires inventions du joueur. Henri Poincaré, interrogé sur sa méthode de travail, répondit qu’il était conduit par son sujet et n’en pouvait lui-même diriger la marche.

La seconde voie tentée par les philosophes pour expliquer l’acquisition des notions mathématiques est l’empirisme. Non plus que le rationalisme, le système empirique ne parvient à s’assimiler la réalité mathématique. Le mathématicien ne reconnaît pas les principes et les méthodes qui sont effectivement les siens dans ceux que lui attribue le philosophe préoccupé de faire triompher l’empirisme. Ni les objets mathématiques, avec l’homogénéité, l’exactitude, le genre d’abstraction et de perfection qui les caractérisent ne se rencontrent dans l’expérience, ni l’on n’en peut expliquer la formation par des habitudes d’esprit nées de l’expérience toute seule. Le nombre, l’espace, l’égalité, l’identité, l’évidence du mathématicien sont bien des données originales, qui ne se peuvent ramener à l’action du monde extérieur sur notre esprit.

Ainsi les philosophes, en confrontant avec les différents cadres dont ils disposaient la science mathématique, telle qu’elle existe, ont dû reconnaître qu’ils ne faisaient rentrer celle-ci dans ceux-là qu’en la déformant et la dénaturant, et que, s’ils voulaient expliquer les mathématiques réelles, et non des mathématiques imaginaires, il leur fallait se mettre à l’école du mathématicien, et modifier,