d’étendre la démonstration à ce nouvel objet lui-même, de telle sorte que la démonstration de l’objet particulier se transforme en une simple application du théorème général.
Et, tandis qu’elles suivent cette voie, opposée à celle qu’indique la logique classique, les mathématiques offrent le modèle de la déduction évidente et rigoureuse.
Force est donc aux logiciens de sortir de l’école où ils s’enfermaient, et d’analyser le raisonnement mathématique, s’ils veulent se faire une juste idée de ce qu’est et de ce que peut la déduction.
Les mathématiques ne sont pas moins propres à faire réfléchir le philosophe, au sujet de la théorie de la connaissance.
Les philosophes, pour expliquer le fait de la connaissance humaine, trouvent, dans le legs de leurs devanciers, deux théories qu’on appelle le rationalisme et l’empirisme. La forme la plus précise du rationalisme est l’innéisme, suivant lequel des notions infiniment riches nous seraient données a priori, notions qu’il suffirait de développer par voie d’analyse, pour obtenir le tableau complet de la science.
Or les mathématiques ne se font point par analyse, mais par construction. Leurs principes ne leur sont nullement donnés : elles les posent progressivement, et c’est devant elles, indéfiniment, et non derrière, qu’elles les cherchent. Le rationalisme innéiste ne rend pas compte d’un pareil travail.
A vrai dire, nous rencontrons, dans l’histoire de la philosophie, une autre forme de rationalisme : le rationalisme constructif. Selon cette doctrine, les définitions mathématiques sont des créations de l’esprit, et, dans le développement et la combinaison de ces définitions, l’esprit a constamment un sentiment de certitude, parce qu’il ne s’occupe pas de mettre ses assertions d’accord avec une réalité quelconque, mais uniquement de rester d’accord avec lui-même. On ne sait que ce qu’on fait : tel est le principe de cette théorie. Les mathématiques sont, pour l’esprit, parfaitement certaines, parce qu’elles sont l’oeuvre de l’esprit, et rien autre chose. L’esprit n’y trouve que ce qu’il y a mis, mais il apprécie avec certitude l’accord logique entre ce qu’il s’est donné et ce qu’il en déduit.
Cette conception des mathématiques est, elle aussi, inégale à la réalité. Elle laisse indécise la question de savoir si la création mathématique ne se ferait pas d’une façon purement arbitraire. Or le mathématicien, lui, n’admet pas qu’il en soit ainsi. Je crois qu’il
