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REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE.

Nous pouvons donc prendre comme « groupe normal » au lieu de $G$, un groupe quelconque isomorphe à $G$.

Parmi tous les groupes isomorphes à $G$, quel est celui que nous choisirons ?

Nous connaissons les propriétés du groupe $G$, puisque, comme je l’ai dit plus haut, la notion de ce groupe préexiste dans l’esprit. Nous savons qu’il contient trois sous-groupes différents ou plutôt trois catégories de sous-groupes.

1^o  Les sous-groupes $g_{1}$, qui sont d’ordre 3.

2^o  Les sous-groupes $g_{2}$, qui sont d’ordre 2.

3^o  Les sous-groupes $g_{3}$, qui sont d’ordre 1.

À chaque substitution de $G$, correspond 1^o  une substitution $S_{1}$, qui change chaque sous-groupe $g_{1}$ en un autre sous-groupe $g_{1}$; 2^o  une substitution $S_{2}$ qui change chaque sous-groupe $g_{2}$, en un autre sousgroupe $g_{1}$ ; 3^o  une substitution $S_{3}$ qui change chaque sous-groupe $g_{3}$ en un autre sous-groupe $g_{3}$.

Les substitutions $S_{1}$, forment un groupe $G_{1}$ ; les substitutions $S_{2}$ un groupe $G_{2}$ ; les substitutions $S_{3}$ un groupe $G_{3}$. Tous ces groupes sont isomorphes à $G$.

Le groupe $G_{1}$, a trois dimensions, le groupe $G_{2}$ en a quatre, le groupe $G_{3}$ en a cinq.

Si l’on choisit $G_{1}$ comme groupe normal, le sous-groupe $g_{1}$, conserve un point ; le sous-groupe $g_{2}$ conserve une ligne (c’est cette ligne qu’on appelle ligne droite par définition) le sous-groupe $g_{3}$ conserve tous les points d’une ligne.

Si l’on choisit $G_{2}$ comme groupe normal, le sous-groupe $g_{2}$ conserve un point, le sous-groupe $g_{1}$ conserve une surface à deux dimensions et le sous-groupe $g_{3}$ conserve un point et une infinité de surfaces à deux dimensions passant par ce point. (Observons en passant que l’espace correspondant à $G$, a quatre dimensions, et par conséquent que deux de ces surfaces se coupent, non suivant une ligne, mais en un seul point.)

Si l’on choisit $G_{3}$ comme groupe normal, le sous-groupe $g_{3}$ conserve un point, le sous-groupe $g_{1}$ conserve une surface à deux dimensions et le sous-groupe $g_{2}$ conserve une ligne.

Cela posé, la question de M. Couturat :

« Pourquoi dit-on que les diverses positions ont un point commun plutôt qu’une ligne commune ? »
équivaut à la suivante :