G. lechalas. De V infini mathématique. 483
solide de toute cette construction. S’appuyant sur la ressemblance qui existe entre la théorie empiriste de ce nombre et sa généralisation arithmétique, il ne veut voir également dans celle-ci qu’un symbolisme vide. Or une telle conséquence nous paraît illégitime prenant comme lui les séries ordinales pour de pures écritures dénuées de sens, nous voyons entre elles et les nombres généralisés une différence essentielle, à savoir que, dans ceux-ci, nous pouvons voir des assemblages de nombres véritables, assemblages sans doute assez artificiels, mais ne constituant cependant pas des écritures dépourvues de sens. Nous ne sommes donc d’accord avec M. Couturat que lorsqu’il fait ressortir combien les diverses espèces de nombres apparaissent dénuées de toute raison d’être ce n’est, semble-t-il, que par hasard qu’elles présentent des qualités utiles, permettant de donner une large extension au calcul. C’est au contraire précisément le caractère de la généralisation algébrique de sortir de ce besoin de généralisation. Ce besoin d’ailleurs n’est pas artificiel et illogique comme on pourrait croire (car pourquoi vouloir étendre des opérations aux cas où elles sont contradictoires ? ), attendu que, du moment où l’on généralise un problème par l’emploi des lettres, on a besoin de savoir si les formules finales sont valables dans le cas où certaines opérations intermédiaires, seraient impossibles avec les données choisies. Ce besoin de généralisation conduit d’ailleurs tout naturellement à créer les nombres négatifs, fractionnaires et imaginaires, pour permettre de considérer comme toujours possibles la soustraction, la division et l’extraction des racines.
Mais M. Couturat reproche à cette généralisation algébrique de laisser échapper les nombres transcendants. Ils ne résultent pas en effet de cette généralisation des opérations arithmétiques ; mais ils viennent la compléter de la façon la plus naturelle et sans aucun recours à la généralisation géométrique. M. Couturat ne nous fait-il pas remarquer lui-même que, si le nombre w est le rapport de la circonférence au diamètre, il se présente dans une foule d’intégrales définies et dé séries convergentes ? Or on nous accordera bien que la géométrie n’est pas nécessaire pour l’étude des séries en général et, en particulier, de la série – 3 + 5 – 7 + ••̃ qui est égale à| Nous avouons -donc ne pas saisir la critique en question, à moins qu’elle ne se borne à ceci les nombres transcendants revêtent une
