G. lécha las. De l’infini mathématique. 481
• pondance complète et uniforme entre tous les points marqués sur la, droite indéfinie et tous les entiers successifs, positifs et négatifs, et tout segment au moins égal à AB contient au moins un des points de division.
r Mais la continuité de la droite exige qu’entre deux quelconques de ses points on puisse en trouver un, autre, ce qui permet de subdiviser indéfiniment chaque segment, et nous supposerons cette opération faite par parties égales c’est une application de l’axiome de la divisibilité. Au lieu de diviser successivement chaque segment en , 4, 8, 2" parties égales, on peut partir de la division en 3, 5, 7. parties égales, et l’on exécuterait autant de partitions indéfinies différentes.
Il est superflu d’insister sur la numération écrite et parlée servant à’désigner ces points de division intermédiaires. On sait d’ailleurs que les points de division primitifs rentrent aisément dans cetté notation. On retrouve ainsi, par des considérations géométriques, l’assimilation des entiers aux fractions dont le numérateur est un multiple du dénominateur, toute fraction dont le numérateur est zéro équivalant d’ailleurs à zéro.
On ne doit pas omettre que, le choix du segment unité étant arbitraire, l’application des entiers et des fractions à tels ou tels points du continu linéaire est une dénomination purement extrinsèque. D’autre part, on voit aisément que deux fractions dont la première a ses termes équimultiples de ceux de la seconde ou, plus généralement, que deux fractions dont les termes sont respectivement des équimultiples de ceux d’une même troisième fraction sont équivalentes ou correspondent au même point. On retrouve ainsi la définition arithmétique de leur égalité et le théorème fondamental de leur calcul.
L’ensemble des points rationnels d’une droite est un ensemble connexe, c’est-à-dire qu’on peut relier deux quelconques de ces points par une chaîne de points appartenant au même ensemble et dont les intervalles soient tous moindres qu’un segment donné il n’offre aucune lacune d’étendue finie, mais il en présente d’infiniment petites, ou coupures. On met celle-ci en évidence par des construc-. tions à deux dimensions, telles que le rabattement- de la diagonale d’un carré ce sont là des constructions à deux dimensions, c’est-à-dire exigeant qu’on sorte de la droite à diviser. M. Couturat attire
