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· limite n’implique point l’infini actuel. A ce sujet nous signalerons, dans le curieux livre de Paul du Bois-Reymond sur la Théorie gênéraie des fondions, ce qu’il dit des suites infinies sans loi déterminée pour nous, ces suites sont un pur non-sens, mais pour M. Couturat elles doivent avoir une signification et une valeur, bien qu’en fait il lui soit impossible d’en déterminer une. Quoi qu’il en soit, il n’en parle pas, et nous le regrettons, car, théoriquement, elles devraient occuper une place dans sa généralisation. M. J. Tannery en a dit un mot lors de la soutenance de la thèse
IV
GÉNÉRALISATION GÉOMÉTRIQUE DU NOMBRE.
M. Couturat envisage particulièrement la grandeur géométrique, parce que la masse n’exige, pour être représentée, ni nombres négatifs ni nombres complexes, et que ces derniers ne sont pas non plus nécessaires à la représentation de la durée. Sur une droite indéfinie, prenons un segment AB de longueur quelconque et ayant un point quelconque pour origine ; puis marquons celle-ci 0 et l’autre extrémité 1. Ces points restant marqués, faisons glisser ce segment sur la droite de façon à faire coïncider A avec la première position de B, et marquons 2 la nouvelle position de ce dernier point. En répétant cette construction, on aura, sur la droite, autant de points qu’on voudra, et chacun d’eux correspondra à un entier marquant son rang. Réciproquement, étant donné un entier, on pourra toujours trouver un point unique qui lui corresponde.
Dans cette construction, nous n’avons utilisé qu’une moitié de la droite, sans que rien d’ailleurs nous ait imposé un côté plutôt que l’autre. Nous pouvons donc faire la même construction en sens inverse, à partir de notre origine 0 ; pour distinguer d’ailleurs les nouvelles divisions des anciennes, nous ferons précéder chaque numéro d’ordre du signe – énoncé moins, ce signe et ce mot n’ayant d’autre sens que d’indiquer que les points sont situés sur la seconde demi-droite.
Admettant comme nombre entier le signe 0, on obtient une corres- •1. Revue de Métaphysique et de Morale, juillet 1898, supplément, p. Jfl.CC Bévue r/énërale des sciences, du 28 février 1897.
