G. uechaias. – De l’infini- mathématique. «S A la différence des trois généralisations précédentes, celle qui fournit les nombres irrationnels ne s’obtient pas en associant deux cru plusieurs nombres déjà obtenus il.enfaut considérer une infi- ` nité. Telle est la raison qui a amené M. Couturat à en rejeter l’étude à la fin, alors qu’en soi elle aurait dû venir après celle des nombres fractionnaires. Avec MM. Dedekind et J. Tannery, il considère le nombre irrationnel comme intermédiaire entre deux classes de nombres rationnels. Il commence d’ailleurs par récapituler les propriétés essentielles de l’ensemble de ces derniers nombres io La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres quelconques de l’ensemble sont des nombres du même ensemble ; ° Etant donné un nombre quelconque, on peut toujours en trouver un plus grand ;
3° Etant donné un nombre quelconque, on peut toujours en trouver L un plus petit.
On en déduit qu’entre deux nombres inégaux quelconques il en existe toujours un troisième, et par suite une infinité – ^– leur moyenne arithmétique, répond en effet.à cette condition. On peut du reste insérer ainsi le nombre qu’on désire de moyens entre deux nombres donnés, et l’on a un procédé systématique pour construire progressivement l’ensemble des nombres rationnels. Cet ensemble est doublement illimité dans le sens de la grandeur et dans celui de la petitesse ; il est connexe, c’est-à-dire que la différence entre deux nombres consécutifs peut être rendue plus petite que toute quantité donnée ; mais il n’est pas continu, car il admet une infinité de lacunes infiniment petites ou coupures les nombres irrationnels comblent ces coupures. A
Si l’on cherche la racine carrée de 3, on constate l’existence d’une de ces coupures, car’3 3 n’est le carré ni d’un entier ni d’une fraction • (le carré d’une fraction irréductible est une fraction irréductible). La recherche de cette racine fournit un moyen de séparer l’ensemble des nombres rationnels en deux classes et y révèle ainsi l’existence d’une coupure.
Tout nombre de la classe dont les carrés sont plus petits que 3 est plus petit qu’un nombre quelconque de la seconde classe ; dans la première, il n’existe aucun nombre qui soit le plus grand d’entre eux ni, dans la seconde, un nombre qui soit le plus petit. Cela fêtant, M. J. Tannery définit ainsi le nombre irrationnel
